Приложения двойных интегралов

4.1. Вычисление площадей плоских фигур и объёмов тел

Для их нахождения используют формулы:

, .

Пример 1. Вычислить площадь области , ограниченной линиями , .

Решение. Строим область (см. рис. 6).

Рис. 6.

Заметим, что её удобнее спроектировать на ось , т.к. область правильная в направлении оси .

Решая совместно данные уравнения линий границ, найдем координаты точек их пересечения:

Þ , ,

Линия входа – парабола, – её уравнение, разрешенное относительно . Линия выхода – прямая, – её уравнение, разрешенное относительно . Отрезок – проекция области на ось . Таким образом, область задается в виде системы неравенств: .

Площадь вычисляем по формуле

.

Пример 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , , .

Решение. По условию дано цилиндрическое тело, которое сверху ограничено плоскостью , с боков – параболическим цилиндром , образующие которого параллельны оси (см. рис. 7а). Основанием цилиндрического тела является проекция тела на плоскость , которая ограничена линиями: , (см. рис. 7б).

Рис. 7а.	Рис. 7б.

Объем тела вычисляем по формуле:

.