Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат сводится к последовательному вычислению двух обычных определенных интегралов (повторному интегрированию).

Различают два основных вида области интегрирования .

Область называется правильной в направлении (относительно) оси (), если каждая прямая, параллельная оси () и проходящая через внутреннюю точку области , пересекает её границу только в двух точках.

Нижняя (левая) из этих точек называется точкой входа в область, верхняя (правая) – точкой выхода из области.

Правильная область может быть задана системой неравенств.

а) Рассмотрим область правильную в направлении оси (рис. 2):

Þ
	Рис. 2.

В этом случае двойной интеграл вычисляется по формуле

, (1)

где - линия входа в область, - линия выхода, направление движения показано стрелкой на рис. 2.

В формуле (1) сначала внутренний интеграл берется по при фиксированном , затем от полученного результата находится внешний интеграл по .

б) Теперь рассмотрим область , правильную в направлении оси (рис. 3):

Þ
	Рис. 3.

Тогда двойной интеграл вычисляется по формуле

, (2)

где - линия входа в область, - линия выхода из области.

В формуле (2) внутренний интеграл берется по при постоянном , а внешний интеграл – по .

Выражения, стоящие в правых частях равенств (1) и (2), называются повторными (или двукратными) интегралами.

Переход от равенства (1) к (2) или обратно называется изменением порядка интегрирования. Значение двойного интеграла не зависит от порядка интегрирования.

с) Если область интегрирования не принадлежит ни к одному из разобранных выше видов, то её разбивают на конечное число частей, каждая из которых является правильной в направлении какой-либо из координатных осей.

Тогда .