Алгоритм решения уравнения

Описание алгоритма:

Общий вид квадратурной формулы для вычисления определенных интегралов:

(1)

Потребуем, чтобы (1) была точна для любого алгебраического многочлена степени m. Это эквивалентно требованию, чтобы формула была точна для функций . Отсюда получаем условия

(2)

которые представляют собой нелинейную систему m+1 уравнений относительно 2n неизвестных . Для того, чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных, надо потребовать m=2n-1. Доказано, что полученная таким образом система имеет единственное решение. (Это доказательство, а также методы его нахождения можно найти в учебных пособиях по численным методам). Обратите внимание: при построении квадратурной формулы типа Гаусса неизвестными являются не только весовые множители , но и узлы . Это позволяет построить квадратурную формулу по n точкам, которая точна для любых полиномов степени 2n-1. В моём случае применяется формула Гаусса-Лаггера и квадратура формулы строится по 5-ти точкам.

Блок-схема:

Программный код Delphi:

Function Fu(x:double):double;

begin

Fu:=0.265*(4.774-((x*x)))*exp(-101.4*(1-(x))*(1-(x)))/(exp(h*c/k/T/x/L0)-1);

end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var

i:integer;

begin

Series1.Clear;

h:=6.63*intpower(10,-34);

c:=3*intpower(10,8);

k:=1.38*intpower(10,-23);

T:=400;

Tk:=1000;

L0:=558*intpower(10,-9);

a:= 2*h*c*c/L0/L0/L0/L0/L0;

While T<Tk do begin

T:=T+1;

S:=0;

for i:=0 to 4 do begin

S:=S+Ck[i]*Fu(Xk[i]);

end;

S:=S*a;

Series1.ADDXY (T,S);

end;

end;

end.

Полученный график функции (с помощью программы Delphi):

Вывод: В результате проделанной работы были изучены численные методы решения интегралов. Так же были изучены типичные проблемы, возникающие при программировании данных методов в Delphi.

Графически было определено, что с ростом температуры растет и мощность (физический смысл решенного интеграла).

Было установлено, что для корректного решения данного интеграла требовалось применить метод Гаусса (формула Гаусса-Лаггера).