Лабораторная работа № 4. Тема: Решение интегралов численными методами;

Тема: Решение интегралов численными методами;

Цель: используя численные методы решить заданный условием интеграл. Вывести графически нужную зависимость (Р[Т]);

Условие задачи:

«Дневная» спектральная чувствительность η(λ) человеческого глаза может быть аппрок-

симирована выражением:

(1)

где λ ₀ = 558 нм. Построить график зависимости полной мощности

(2)

регистрируемой глазом, как функцию температуры нагретого тела.

(3)

Анализ условия:

Решение: путем подстановки (1) и (3) в (2) получаем интеграл вида:

Упростим полученное выражение:

Р_еуе:= (Вт)

где: х= λ

L0= λ₀

Выбор численного метода решения и анализ его сходимости:

Для решения задачи я использовал метод Гаусса, используя для расчетов формулу Гаусса-Лаггера:

График искомой зависимости (проверка с помощью программы matematica):

Обоснование выбора метода:

Формула Гаусса-Лаггера хороша тем, что с ее помощью можно решать неопределенные интегралы с пределами интегрирования от 0 до ∞. Заметим, что (весовая функция). Значения множителя и значения узлов x_k возьмем из следующей таблицы:

n(количество узловых точек)=5
0,26356
1,41340
3,59642
7,08581
12,64080

Мой же интеграл как раз имеет такие границы интегрирования (0, ∞) и явно выраженную весовую функцию е^-х

Анализ сходимости метода:

Формула Гаусса-Лаггера позволяет вычислять несобственные интегралы от 0 до + бесконечности. При использовании этой формулы необходимо преобразовать подынтегральное выражение, выделив весовую функцию в явном виде.

Выбор той или иной квадратурной формулы определяется видом подынтегральной функции и пределами интегрирования. Для несобственных интегралов правильный выбор во многом зависит от поведения функции при . Необходимо стремиться к тому, чтобы функция f(x) была, по возможности, более гладкой.