Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина

Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением

;

Модуль момента импульса:

- радиус-вектор, проведённый из точки O в точку А,? - плечо импульса (кратчайшее расстояние от точки О до линии действия импульса)

- импульс материальной точки.

- псевдовектор, его направление определяется по правилу левой руки.

Моментом импульса твердого тела относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси. Значение момента импульса не зависит от положения точки O на оси Z.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

Продифференцируем по dt

- основное уравнение динамики вращательного движения.

Вообще выполняется векторное равенство

В замкнутой системе момент внешних сил равен нулю

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени

§5 Величины, характеризующие поступательное и вращательное движение и связь между ними:

	Поступательное движение	Вращательное движение	Связь
	- путь
	- cкорость;
	- ускорение;	– угловое ускорение
	m - масса	- момент инерции
	- uмпульс;	– момент импульса
	;
	;	– кин. энергия вращательного движения
	d A -элементарная работа;	d A - элементарная работа вращательного движения

§2 Пружинный маятник. Упругие и квазиупругие силы. Уравнение колеблющейся пружины Рассмотрим тело массы m, закрепленное на пружине с коэффициентом жесткости k (массой пружины пренебрегаем). Растянем пружину на х. Тогда по закону Гука на тело будет действовать сила упругости F упр: 1) величина силы пропорциональна величине отклонения системы от положения равновесия 2) направление сила противоположно направлении смещения, т.е. сила всегда направлена к положению равновесия (при х > 0, F упр < 0, при х < 0, F упр > 0) 3) В положении равновесия х = 0 и F упр = 0. По закону Гука F упр = - kх.   Систему, состоящую из материальной точки массы m и абсолютно упругой пружины с коэффициентом жесткости k, в которой возможны свободные колебания, называютпружинным маятником. Запишем второй закон Ньютона для рис. б     т.е. тогда и   Если сила не является по своей природе упругой, но подчиняется закону F = - kх, то она называется квазиупругой силой. Получим уравнение пружинного маятника. Учтем в записи второго закона Ньютона, что тогда - дифференциальное уравнение точки, совершающей колебательное движение (дифференциальное уравнение пружинного маятника). Решение дифференциального уравнения: - уравнение колеблющейся точки (уравнение колеблющейся пружины). - собственная частота колебаний.   §3 Математический и физический маятники. Периоды колебаний математического и физического маятников Математический маятник - материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, и совершавшая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Материальная точка - тело, масса которого сосредоточена в центре масс и размерами которого в условиях данной задачи, можно пренебречь. Математический маятник при колебаниях совершает движение по дуге окружности радиуса . Его движение подчиняется законам вращательного движения. Основное уравнение вращательного цветения запишется в виде (1) М – момент сил, I – момент инерции, ε – угловое ускорение. Равнодействующая сил и равна . Из треугольника АВС т.е. таким образом, колебания математического маятника происходят под действием квазиупругой силы - силы тяжести. Тогда (1) запишется в виде (2) Знак минус учитывает, что векторы и имеют противоположные направления (угол поворота можно рассматривать, как псевдовектор углового смещения , направление вектора определяется по правилу правого винта, из-за знака минус направлен в противоположную сторону). Сократив в (2) на m и получим При малых углах колебаний α = 5 ÷6°, , получим Ввода обозначения получим дифференциальное уравнение колебаний математического маятника Его решение: - уравнение математического маятника. из которого видно, что угол α изменяется по закону косинуса. α0 - амплитуда, ω0 - циклическая частота, φ0 - начальная фаза.   - период колебаний математического маятника Физический маятник - твердое тело, колеблющееся под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести тела, называемой осью качания маятника. Основное уравнение – вращательного движения для физического маятника запишется в виде При малых углах колебаний и уравнение движения имеет вид Тогда положив получим - дифференциальное уравнение физического маятника. - период колебаний физического маятника Приравняв Тфиз = Тмат: следовательно, математический маятник с длиной имеет такой же период колебаний, как и данный физический маятник. - приведенная длина физического маятника - это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Вернемся к формулам для смещения x, скорости v и ускорения a гармонического колебательного процесса.

Пусть имеем тело массы «m», которое совершает под действием квазиупругой силы колебания по закону:

, тогда

.

.

Видно, что скорость и ускорение также изменяются по гармоническому закону (графики приводились ранее) с периодом колебаний равным T. Из сравнения формул видно, что скорости v опережает смещение по фазе на . Это означает, что если x=0, то v тела имеет максимальное значение .

Для ускорения зависимость иная. В каждый момент времени ускорение пропорционально смещению и находится с ним в противофазе. Это означает, что когда x=x_max, то ускорение тоже максимально, но отрицательно, т.е. при x=x_max, (графики приведены ранее).

Квазиупругая сила, под действием которой происходит колебательное движение, является консервативной. Поэтому полная энергия гармонического колебательного движения должна оставаться постоянной. В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно (силами сопротивления пренебрегаем). Причем в моменты наибольшего отклонения о положения равновесия , причем ; при прохождении положения равновесия , причем . Так как , то .

Определим, как со временем изменяется Е_к и U_п для гармонического колебания . Имеем

(8.4)

(8.5)

Т.к. , то имеем

,

т.е. как и должно было быть, т.к. квазиупругая сила – консервативная сила.

Используя формулы тригонометрии, можно получить выражения для

(8.6)

(8.7)

Здесь E – полная энергия системы. Из формул видно, что Е_к и U_п изменяются с частотой 2w₀, т.е. с частотой вдвое превышающей частоту гармонического колебания. Среднее значение квадрата sin и квадрата cos равно 1/2. Следовательно, среднее значение E_к совпадает со средним значением U_п и равно E/2.