Случайные отклонения

Вкусы у людей, как известно, чрезвычайно разные. Одни сникают при взгляде на длинные колонки цифр, на графики с ниспадающими и вздымающимися вверх ломаными и плавными кривыми, на масштабные столбики, высота которых описывает все, что угодно, – урожаи, рост, потребление водки или посещаемость театров. У других же, и их немало, глаза загораются при взгляде на это богатство информации. Жадно рыщут они взглядом вдоль цифровых столбцов, просматривают графики и приходят к интересным и важным выводам в области экономики страны, понимания человеческого характера или еще в чем‑нибудь. Люди эти – статистики, – нужное и важное племя работников, значительный отряд министерств и ведомств.

Задачи статистики (так называются не только люди, но и область деятельности) разнообразны и обширны. На десятках тысяч библиографических карточек приведены данные о промышленном производстве, о народном образовании, о смертности населения, о функционировании поликлиник и больниц, об автомобильных катастрофах, о посещаемости кинофильмов и бог весть еще о чем. Статистиков интересуют самые разные вещи: динамика роста тех или иных показателей, сопоставление данных по значению какого‑либо параметра в разные времена года, или в разные часы дня, или среди мужчин и женщин, или среди лиц разного возраста.

Особое место занимают в статистике измерения средних значений и отклонений от средних. Весьма распространены измерения роста и веса. Вес цыплят, которыми торгует птицеферма, интересен потому, что характеризует ее работу; рост людей интересен для швейной промышленности, выпускающей одежду ог 46‑го до 56‑го размеров, и т.д. Так как все это известно читателю из газет и радиопередач, приводящих всевозможные числа, то перейдем к нашей теме, а именно, к проявлению во всей этой массе чисел законов случая.

Один из скучных рисунков, фигурирующих в сочинениях по статистике, нам придется привести. Мы с художником долго ломали голову над тем, как сделать это масштабное построение более приемлемым в книге серии «Эврика». Результат творчества изображен на странице 71 [ссылка]. Рисунок показывает диаграмму и кривую, которая носит название кривой статистического распределения.

Чтобы рисунок лучше рассмотреть, поверните, пожалуйста, книжку на 90 градусов. Правда, новобранцы очутились в лежачем положении. Но, ей‑богу, ничего более толкового не придумаешь. Теперь (в повернутом положении) высота кривой показывает число будущих солдат определенного роста. Величины роста нанесены на уровне носа. Выбран конкретный пример измерения роста 1375 ребят. Столбики – это результат измерения, а плавная линия – наиболее близкая к опыту – гауссова кривая.

Статистикам известна следующая замечательная вещь: чем больше привлеченный для построения графика материал (в данном случае чем больше ребят), тем плавнее и ближе к теории кривая, соединяющая вершины масштабных столбиков.

Самым замечательным обстоятельством является то, что кривая, получающаяся при измерении любых объектов, имеет форму той же самой кривой Гаусса, на которую, как мы видели, ложатся числа комбинаций «красного» и «черного»!

Теперь рассмотрим вид кривой нормального распределения в деталях. Нормальная кривая примерно похожа на колокол; она спадает одинаково в обе стороны сначала медленно, а потом быстро. Чтобы построить ее, математику достаточно знать три параметра: высоту ее максимума, среднее значение изучаемой величины (то есть то место на горизонтальной оси, которое соответствует среднему значению) и ширину кривой. Вершине колокола как раз и соответствует то, что мы называем средней величиной. (Как получить среднее, известно даже тем, кто враждует с арифметикой: надо сложить все измерения и разделить на число измерений.) Откуда же видно, что максимум кривой Гаусса придется на среднюю величину? Доказательство легкое: нужно проинтегрировать гауссову кривую. Но так как это занятие здесь неуместно, то просим поверить на слово, что теорема доказывается совсем просто.

Итак, остается пояснить, что такое ширина нормальной кривой. Условно меряют ширину на полувысоте колокола. Очевидно, что ширина показывает, насколько часто или редко мы встречаемся с отклонениями от среднего. Чем уже колокол, тем реже значительные отклонения от среднего.

Нормальная кривая распределения роста, которая была нарисована на предыдущей странице, описывается такими словами: «Высота кривой 200 человек», то есть двести человек имеют средний рост (первый параметр кривой).

Заметим тут же, что иметь строго средний рост невозможно, можно иметь средний рост с точностью 1, 2, 5 сантиметров и т.д. На нашем графике каждая точка представляет группу ребят, рост которых лежит в пределах 2,5 сантиметра. Средняя высота новобранцев, как мы видим по диаграмме, равна 158 сантиметрам – это второй параметр.

Третьим параметром является ширина колокола, равная в этом случае 15 сантиметрам. Знание ширины кривой позволяет сразу же оценить, с какими отклонениями от среднего мы можем встретиться.

Нормальная кривая универсальна и относится к любым событиям, поэтому, смотря все на тот же рисунок, мы можем делать общие заключения, справедливые для любых нормальных кривых. Скажем, отклонения больше трех полуширин практически не встречаются. Так обстоит дело всегда, вне зависимости от того, о чем идет речь.

Для характеристики вероятности отклонения от среднего значения в технике и статистике существуют еще среднее отклонение по абсолютной величине, среднее квадратичное отклонение, вероятное отклонение, мера точности. Все эти величины связаны между собой и с полушириной гауссовой кривой числовыми множителями, близкими к единице.

Вообще говоря, каких‑либо доводов в пользу того, чтобы те или иные статистические сведения ложились на гауссову кривую, нет. Правда, кое‑что мы чуть позже увидим. Сейчас же надо подчеркнуть, что точные представления о нормальном распределении случайных событий показывает кривая числа комбинаций «красного» и «черного». И к идеалу, с точки зрения математической, эта кривая приближается тем лучше, чем большее число испытаний проводится. Если число событий, которые мы обрабатываем статистически, исчисляется десятками, то ординаты кривой будут отличаться от идеальных на десятые доли процента; при сотнях испытаний разница уменьшится до сотых долей процента. Во всяком случае, на рисунке размером в страницу мы не отличим кривую распределения, построенную для тридцати событий, от гауссовой кривой идеальной.

Без преувеличения можно сказать, что закон Гаусса является важнейшим оружием в технике, в физике, в медицине – в любой науке.

Знание среднего значения случайной величины и ширины кривой нормального распределения позволяет уверенно судить о возможном и невозможном.

В технике беспорядочные колебания случайной величины около ее среднего значения называют шумом. Такой шум вы слышите, когда снимаете телефонную трубку. Шумом называют обыкновенный белый свет. Шумит молния, излучая весь спектр электромагнитных колебаний. Если шум изображать на телевизионном экране (осциллографе), то будет видна беспорядочная зигзагообразная кривая.

Шум нетрудно ограничить двумя горизонтальными линиями; так сказать, вписать его между нулем и некоторым максимумом. Что можно сказать об этом максимуме, о верхнем пределе шума?

В зависимости от природы, источника, от излучателя, шум может быть как угодно большим. По‑одному шумит громкоговоритель в квартире, по‑другому – на маленьком полустанке и совсем иной шум громкоговорителей, работающих на улицах Москвы во время парада на Красной площади. Разница основательная. Но если построить графики этих трех шумов, то одну общую черту, продиктованную законом Гаусса, мы обнаружили бы без труда: верхний предел шума превышает средний шум примерно в четыре раза. То есть колокол гауссовой кривой весьма крутой и обрывается исключительно резко, несмотря на то, что с точки зрения формальной математики крылья кривой продолжаются в бесконечность. Из этого графика мы бы увидели, какое маловероятное событие становится практически невозможным. Еще одно замечание: всякое заметное превышение шума над граничной горизонталью, дающее более чем пятикратное отклонение от среднего шума, называется уже не шумом, а сигналом.

Кривая гауссова распределения показывает, на что надо, а на что не надо обращать внимания, когда речь идет о случайной величине. Физические измерения, как и математический анализ, показывают, что отклонения, не превышающие четырехкратного значения среднего отклонения, являются нормой и поэтому не заслуживают ни особого внимания, ни объяснения. Скажем, известно, что физики могут измерять расстояния между атомами с точностью до 0,01 ангстрема. Некто Иванов публично заявил, что его измерения на 0,03 ангстрема отличаются от ранее полученных результатов, и пытается доказать, что его результат лучше имеющегося. Не стоило ему так поступать: не спорить ему надо, а сообщить ученому миру, что он лишь подтвердил ранее достигнутый физиками результат. Вот если бы его измерения отличались на 0,06 ангстрема, тогда другое дело; тогда можно было бы говорить, что какая‑то из двух величин неверна и некто Петров был бы прав с точки зрения научной этики, приступив к измерению того же межатомного расстояния третий раз.

Зная гауссовы кривые для разных случайных событий, статистики отвергнут газетное сообщение о новорожденном весом в 6 килограммов, о том, что в городе Киеве 12‑го числа рождались только мальчики, а 13‑го только девочки, о том, что в Москве в мае месяце не было ни одного дня с температурой ниже 30 градусов, о том, что число автомобильных катастроф в декабре было в десять раз больше, чем в январе, что во вторник по всему городу не было продано ни одного куска мыла, а в среду никто не приобрел в аптеке таблеток пирамидона и т.д.

И право же, такой скептицизм, базирующийся на хорошей статистике и знании закона вероятности, обоснован не хуже, чем расчеты траектории космического корабля. Словом, невероятно – не факт.

Если вероятности невелики…

Во время войны довольно часто стреляли из винтовок по вражеским самолетам. Может показаться, что это безнадежное дело; о прицельной стрельбе здесь и речи быть не может, поскольку лишь пули, пробивающие бензобак или поражающие летчика, приносят результат. Было установлено, что вероятность удачного выстрела равнялась 0,001. Действительно мало. Но если стреляет одновременно много бойцов, то картина меняется.

Примеров, в которых нас интересует вероятность многократно осуществленного события, обладающего малой вероятностью, множество. Например, с задачей попадания в самолет из винтовки полностью совпадает задача о выигрыше в лотерею по нескольким билетам.

Каждая серия «выстрелов» может быть как неудачной, так и закончиться одной удачей, а то и несколькими. Соответствующее распределение вероятностей было найдено французским математиком Пуассоном.

В любом математическом справочнике вы найдете формулу Пуассона, а также таблицы, позволяющие найти интересующую вас вероятность без расчета.

Средняя частота – это результат, идеально совпавший с предсказанием теории вероятностей. Если вероятность выигрыша равняется 0,01, то из ста билетов выиграет 1, а из тысячи – 10. Единица и десять это и есть средние частоты выигрыша для серий в сто и тысячу билетов. Конечно, средняя частота может быть и дробным числом. Так, для серий в десять билетов при том же значении вероятности средняя частота выигрыша равняется 0,1. Это значит, что в среднем одна из десяти серий по десяти билетов будет содержать один выигрыш.

В таблицах Пуассона приводятся цифровые данные для всевозможных значений средних частот. Чтобы было ясно, в каком виде нам сообщаются эти сведения и для общей ориентировки приведем несколько чисел характеризующих распределение вероятности при средней частоте, равной единице. Вот эти числа.

Ста выстрелами при вероятности попадания в 0,01 или тысячью выстрелами при вероятности попадания в 0,001, или миллионом при вероятности в 0,000001, мы поразим цель один раз в 37 процентах случая, 2 раза в 18 процентах, 3 раза в 6 процентах… 8 раз лишь в 0,001 процента. А промахнемся сколько раз? Промахов точно столько же, сколько одноразовых попаданий, то есть 37 процентов.

Приведенные проценты, как и любые числа вероятностей, работают точно лишь для очень большого числа серий. Если миллион людей приобрел лотерейные билеты, выигрывающие с вероятностью в 0,01, то 37 процентов из них не выиграют ни разу, а 37 процентов других лиц обязательно выиграют по одному билету и т.д. Если же мы заинтересуемся выигрышами только 100 человек, то должны считаться с вероятными отклонениями от среднего. В «среднем» 37 из них не выиграют ни разу. Отклонения здесь от «среднего» не превысят 6≈sqrt(37). А с такими отклонениями, как мы уже знаем, следует считаться и помнить, что число неудачников будет находиться между 31 и 43. Конечно, не исключены и бо́льшие отклонения в обе стороны, но их вероятность совсем уж невелика.

Узнав из условий розыгрыша, что в среднем на сотню лотерейных билетов один выигрывает, владелец билетов будет считать себя несчастливым, если на его 100 билетов выигрыш не упадет ни разу. Если же ему не повезет несколько раз, то он, возможно, заподозрит устроителей лотереи в несправедливости. Однако сделаем простой расчет. Если вероятность одного «промаха» равна 0,37 (37%), то вероятность двух «непопаданий» равна квадрату этого числа (0,14), а трех – кубу (0,05). А это не такие уж малые доли, чтобы делать столь решительные выводы.

Date: 2015-06-05; view: 595; Нарушение авторских прав