Линейные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

y' + P(x)y = Q(x),

где P(х) и Q(х) – непрерывные функции.

Если Q(x) ¹ 0 – уравнение называется линейным неоднородным, если Q(x)=0 – линейным однородным.

Для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка существует два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной).

Рассмотрим первый метод. Решение уравнения

ищется в виде

,

где и - неизвестные функции от x. При этом одну из функций (например, v(x)) можно выбрать произвольно, тогда вторая определится из уравнения

.

В обоих случаях они находятся из уравнений с разделяющимися переменными.

Общее решение линейного уравнения можно также найти методом Лагранжа. В этом случае его общее решение ищется в виде:

.

Пример. Решить дифференциальное уравнение:

Данное уравнение имеет вид

и, стало быть, является линейным. Решим уравнение двумя способами.