Главная Случайная страница



Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Решение задач





А класс Геометрия

23.10.2014

Урок № 7

Тема урока:

Прямоугольник. Его свойства и признаки.

Записать в тетради число, тему урока

Повторение изученного

Повторить определения и свойства

Фронтальный опрос по теории

Вопросы:

1. Дайте определение прямоугольника.

2. Сформулируйте свойства прямоугольника.

3. Сформулируйте признаки прямоугольника.

4. Каким свойством обладает медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе?

5. Где расположен центр окружности, описанной около прямоугольного

треугольника?

Актуализация опорных знаний

устно решить задачи по рисункам

Задача 1.Дано: ABCD (рис. 4) — прямоугольник, ∠1= 120º.

Найти: ∠2. (Ответ: 60º.)

Задача 2.Дано: ABCD (рис. 5) — прямоугольник, ∠1 =∠2, ∠3 =∠4 .

Доказать: BK =MC.

Задача 3.Дано: ABCD (рис. 6) — прямоугольник, BK =CH, AM=MD.

Доказать: KM=HM.

Закрепление усвоенных умений и навыков

Решение задач

Задача 1.В прямоугольнике биссектриса угла делит противолежащую сторону на отрезки 17 см и 8 см начиная от ближайшей

к этому углу вершины. Найдите периметр прямоугольника.

Решение

Пусть ABCD (рис. 7) — данный прямоугольник, BM — биссектриса угла B, AM=17 см, DM=8 см. Тогда ∠ABM=∠CBM=45º (BM — биссектриса). Значит, в прямоугольном треугольнике ABM

(∠A =90º)∠BMA =90º−45º=45º. Т.е. треугольник ABM —равнобедренный, AB =AM=17 см. По свойству противолежащих сторон прямоугольника CD =AB =17 см. DM=8 см (по условию), значит, AD =AM+MD =17 +8 =25 (см). BC =AD =25 см. Следовательно, P ABCD =(AB +BC) ⋅2 =(17 +25)⋅2 =42⋅2 =84 (см).

Ответ: 84 см.

Задача 2.В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1 : 2, меньшая сторона прямоугольника равна 2,7 см. Найдите длины

диагоналей прямоугольника.

Решение

Пусть ABCD (рис. 8) — данный прямоугольник, BD — его диагональ, AB<BC, AB =2,7 см. Пусть ∠CBD =x,тогда ∠ABD =2x. Т.к. ∠ABC =90º,



то имеем: x +2x =90º,

3x =90º, Рис. 7

x =30º.

Значит, ∠ABD =60º, ∠CBD =30º. ∠BDA =∠BDC =30º как внутренние накрест лежащие при BC ǁ AD и секущей BD.

Таким образом, в треугольнике ABD, где ∠A =90º, катет AB, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы: AB = BD.

Следовательно, BD =2AB =2⋅2,7 =5,4 (см). Диагонали прямоугольника равны, то есть AC =BD =5,4 см.

Ответ: 5,4 см, 5,4 см.

Задача 3.В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найдите периметр прямоугольника.

Решение

Пусть ABC (рис. 9) — данный прямоугольный треугольник, в котором ∠C =90º, AC =CB =6 см, CKLM — прямоугольник. В треугольнике ABC A =∠B =45º, т.к. этот треугольник равнобедренный.

Значит, в треугольнике AKL, где ∠AKL =90º(т.к.CKLM —прямоугольник), тоже ∠ALK= KAL =45º. Следовательно, треугольник AKL — равнобедренный, AK =KL. Аналогично в треугольнике LMB, где ∠LMB =90º, ∠MLB =∠B =45º и LM=MB. Значит, CA =CK+KA =CK+KL =6 (см). Отсюда P CKLM =(CK +KL ) ⋅2=12 см.

Ответ: 12 см.

Задача 4.В прямоугольнике точка пересечения диагоналей находится от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр прямоугольника равен 56 см. Найдите стороны прямоугольника.

Решение

Пусть ABCD (рис. 10) — данный прямоугольник, точка O —точка пересечения его диагоналей. Проведем отрезки OM, перпендикулярный стороне BC, и ON, перпендикулярный стороне AB. Т.к. BC >AB, то ON на 4 см больше OM по условию. В треугольнике BOC BO =OC как половины равных диагоналей AC и BD. Значит, в треугольнике BOC высота OM является и медианой (свойство высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основанию).

Т. е. BM= BC

Аналогично в треугольнике BOA (BO =OA) N — середина AB, BN = AB. Т.к. по условию PABCD =56 см, то AB+BC =28 (см), а BN+BM=28:2 =14 (см). Рассмотрим четырехугольник BMON, в нем три прямых угла, следовательно, BMON — прямоугольник по признаку. OM=BN =x см, тогда MB =ON =(x +4)

см. Значит, x +x +4 =14, 2x =10 , x =5. Итак, BN =5 см, значит, AB=CD =10 см, а BM=5+4 =9 см, BC +AD =18 см.

Ответ: 10 см, 10 см, 18 см, 18 см.

Задача 5.Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC равна 8 см. Через середину гипотенузы — точку K проведены прямые, параллельные катетам треугольника и пересекающие их в точках D и E. Найдите длину отрезка DE.

Решение

В треугольнике ABC C =90º(рис. 11), так как AB по условию гипотенуза. В четырехугольнике CEKD по построению три угла прямые. Значит, CEKD — прямоугольник по признаку. Тогда диагонали DE и CK этого прямоугольника равны. Так как CK — медиана прямоугольного треугольника ABC (K — середина AB), то CK = AB=4 см. Значит, DE =4 см.



Ответ: 4 см.

Задача 6.В прямоугольнике ABCD (рис. 12) точка O — точка пересечения его диагоналей, P ABD -P AOD =4 см. Найдите сторону AB.


Решение

PΔ ABD =AB +BD +AD. P Δ AOD =AO +OD +AD. AO =BO =OD как

половины диагоналей прямоугольника. P ABD -P AOD= AB +BD +AD -AO –OD- -AD=AB =4 (т.к. BD =BO+OD =AO+OD).

Ответ: 4 см.

Задача 7.В прямоугольнике ABCD (рис. 13) точка O — точка пересечения диагоналей, ∠ABD =57º. Найдите угол COD и докажите,что ∠ABD+∠BCA=90º.

C

Решение

Так как BO =AO как половины равных диагоналей прямоугольника

ABCD, то треугольник AOB — равнобедренный. Значит, ∠BAO =∠ABO =57º как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда ∠AOB =180º−2⋅57º=180º−114º=66º. ∠COD =∠AOB =66º как вертикальные. Т.к. ∠ABC =90ºABCD —прямоугольник), то ∠CBD=90º−57º=33º. Треугольник BOC — равнобедренный с основанием BC, следовательно, ∠BCA =∠CBD =33º.

Значит, ∠ABD+∠BCA =90º, что и требовалось доказать.

Домашнее задание

1.В прямоугольнике ABCD точка O — точка пересечения диагоналей, ∠AOD =70º. Найдите угол OCD.

2.Найдите угол между меньшей стороной и диагональю прямоугольника, если он на 30º меньше угла между диагоналями, лежащего против меньшей стороны.

3.Перпендикуляр, проведенный из вершины прямоугольника к диагонали, делит ее в отношении 3 : 1. Найдите длину диагоналей прямоугольника, если точка пересечения диагоналей удалена от большей стороны на 6 см.

 








Date: 2015-04-23; view: 1383; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2021 year. (0.026 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию