Логические парадоксы – примеры и проблемы

"Из них же самих один стихотворец сказал: "Критяне всегда лжецы, злые звери, утробы ленивые". Свидетельство это справедливо".

Послание к Титу святого апостола Павла. Глава 1. Стих 12-13.

Как известно, логика оперирует с высказываниями – записанными с помощью знаков суждениями естественного или искусственного языка, которые имеют значения – сформулированные для данного высказывания логические содержания. Набор значений конечен. В случае классической двузначной логики этот набор - истина и ложь. Одно высказывание не может одновременно иметь несколько значений.

Высказывания можно формализовать – то есть записать на формальном языке и сформулировать логику высказываний – набор процедур и операций, которые преобразуют одни высказывания в другие или изменяют значения высказываний.

На этом предположении строится традиционная формальная логика, устанавливающая процедуры и операции над высказываниями.

Рассмотрим суждение естественного языка “Я лгу”. Преобразуем его в высказывание логики. Для этого проанализируем его содержание и интерпретируем логические значения.

Если мы предположим, что содержание высказывания “Я лгу” истинно, то его содержание указывает на то, что это высказывание ложно, следовательно, это высказывание является ложным, и его значение – ложь.

Если мы предположим, что содержание высказывания “Я лгу” ложно, то суждение “Я лгу” неверно. Следовательно, я говорю истину, и это высказывание является истинным. Его значение – истина.

Таким образом, одно и то же высказывание обладает двумя значениями одновременно.

Высказывание “Я лгу” – широко известный с древних времен пример семантического парадокса, иллюстрирующего противоречивость интерпретаций высказываний.

Одним из первых исследователей парадоксов был Зенон Элейский, занявший место в истории философии благодаря рассмотрению четырех парадоксов движения.

Рис.1.2.1 Зенон Элейский (430-495 до н.э.) и иллюстрация знаментитого парадокса "Ахилл и черепаха". Всего Зенонм было придумано более 40 апорий, направленных против бесконечности и движения.

В своих парадоксах Зенон пытался показать, что из определенного положения можно получить суждения, противоречащие друг другу. Следовательно, необходимо подвергнуть критике это положение.

Анализ парадоксов – любимая тема логических исследований XIX-XX веков, из которой выросло множество интересных работ по философии, основаниям математики, логическим теориям, искусственному интеллекту.

Парадоксы оказали колоссальное воздействие на литературу и беллетристику ХIХ-ХХ веков. Здесь можно упомянуть имена Л. Кэррола, Х.Л. Борхеса, Б. Касареса, Х. Кортасара, У. Эко, М. Павича.

Самой яркой работой на эту тему, на мой взгляд, является книга Дагласа Хофштадтера "Гёдель, Ешер, Бах"[2]. Главные герои книги – персонажи Зенона – Ахилл и Черепаха, постоянно попадают в бесконечные и парадоксальные ситуации. Между их диалогами обсуждаются проблемы логики, геометрии, биологии, нейрофизиологии, музыки и дзен-буддизма.

Кроме семантических парадоксов популярной темой исследований являлся анализ теоретико-множественных парадоксов, самым известным из которых был парадокс Рассела. Этот парадокс фиксировал противоречивость фундаментальной категории логики – категории множества.

Рис. 1.2.2 Бертран Артур Уильям Рассел (1872-1970). Портрет и шарж с формулировкой знаменитого парадокса. Рассел - автор огромного количества книг по философии, логике, основаниям математики. Нобелевскую премию получил по литературе.

Так же как и “монстры”, поражающие математиков, парадоксы поражали логиков. Они не вписывались в традиционные процедуры логического анализа и наводили на мысль о том, что в основаниях логики не всё благополучно.

1.3 “Монстры” и парадоксы – неслучайные совпадения.

Сопоставив историю исследований геометрических “монстров” и логических парадоксов, можно увидеть ряд удивительных совпадений.