Условные законы распределения

Если случайные величины, образующие систему, зависимы, то для нахождения закона распределения системы недостаточно знать законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Требуется еще знать так называемый условный закон распределения одной из них.

Условным законом распределения одной из величин (X; Y), входящих в систему, называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение.

Начнем с наиболее простого случая. Пусть случайная величина Y является дискретной.

Условной функцией распределения F_X (x | Y = y_j) случайной величины X при условии Y = y_j называется условная вероятность события { X < x } при условии события { Y = y_j }, т.е.

(8.23)

Аналогично определяется условная функция распределения F_Y (y | X = x_i) случайной величины Y при условии X = x_i (когда случайная величина X является дискретной):

(8.24)

Замечание 1. Условная функция распределения обладает всеми свойствами, которые присущи обычной (безусловной) функции распределения.

Замечание 2. Если случайная величина X также дискретная, причем P{ X = x_i, Y = y_j } = p_ij, то удобно рассматривать условную вероятность случайной величине X принять значение x_i при условии Y = y_j:

(8.25)

Обычно условное распределение { X = x_i | Y = y_j } описывают с помощью таблицы. Ясно, что элементы второй строки этой таблицы получаются по формулам .

Аналогично определяется условная вероятность случайной величине Y принять значение y_j при условии X = x_i:

(8.26)