Теоретические упражнения. 1. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства пространства , если задано уравнением

1. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства пространства , если задано уравнением .

2. Доказать, что все симметрические матрицы третьего порядка образуют линейное подпространство всех квадратных матриц третьего порядка. Найти базис и размерность этого подпространства.

3. Найти координаты многочлена в базисе

4. Линейный оператор в базисе имеет матрицу

Найти матрицу этого же оператора в базисе

5. Найти ядро и область значений оператора дифференцирования в пространстве многочленов, степени которых меньше или равны трем.

6. Пусть и — собственные векторы оператора , относя­щиеся к различным собственным значениям. Доказать, что вектор не является собственным вектором оператора .

7. Пусть , . Будет ли оператор самосопряженным?

8. Доказать, что если матрица оператора — симметрическая в некотором базисе, то она является симметрической в любом базисе (базисы — ортонормированные).