Задание: Предел функции

Методические рекомендации

Для выполнения контрольной работы №2

По математике 1 курс.

задание: Предел функции.

Число А называется пределом функции f(x) при , если для любого числа можно указать такое , что для любого , удовлетворяющего неравенству выполняется неравенство . Функция f(x) называется бесконечно малой при , если . Функция f(x) называется бесконечно большой при , если или .

Свойства б/м и б/б функций:

· Если f(x) и g(x) – б/м при , то их сумма f(x) + g(x) при также является б/м.

· Если f(x) - б/м при , а F(x) – ограниченная функция, то f(x)* F(x) есть функция б/м.

· Если при функция f(x) имеет конечный предел , а функция - б/б, то .

· Если f(x) - б/м при , то 1/ f(x) – б/б, причем в окрестности точки a функция f(x) в нуль не обращается.

· Если f(x) - б/б при , то 1/ f(x) – б/м.

Теоремы о пределах.

1. Если f(x) имеет предел при , то этот предел единственный.

2. Предел суммы функций равен сумме пределов этих функций.

3. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций.

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций.

Следствия

5. Постоянный множитель можно выносить за знак предела

6. Если n – натуральное число, то .

Замечательные пределы:

1) и ; и .

2) и .

ПРИМЕР 1. Найти пределы функции:

а) Решение: При получаем неопределенность Сократим дробь

и вычислим =

б) . Решение: При получаем неопределенность Сократим дробь, умножив числитель и знаменатель дроби на одно и тоже выражение, сопряженное числителю. .

=

в) . Решение: При получаем неопределенность Сократим дробь, разложив числитель и знаменатель дроби на множители, найдя корни квадратного трехчлена.

=

г) . При получаем неопределенность

Решение: Сведем к бесконечно малым величинам, разделив каждое слагаемое числителя и знаменателя на наибольшую степень, т.е. х².

= ,

так как при и т.д.

д) . Решение: Разобьем дробь на две дроби, применяя теоремы о пределах, и воспользуемся формулой первого замечательного предела

=

е) Решение: Разобьем дробь на две дроби и воспользуемся формулой второго замечательного предела.

= = = .

ж) . Решение: Разобьем дробь на две дроби и воспользуемся одной из формул второго замечательного предела. = = .