Дифференциальные уравнения движения

Рассмотрим окрестность точки М деформируемого тела, имеющего форму параллелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям и центром в точке М. Длины ребер равны 2Dx, 2Dy, 2Dz.

Пусть s_ij – напряжения в точке М, действующие по плоскостям, проходящим через эту точку и параллельным граням параллелепипеда. На гранях параллелепипеда напряжения будут несколько отличаться от s_ij. На рисунке обозначены только те компоненты напряжений, действующих по граням, которые параллельны оси Х.

Определим составляющую S_Х равнодействующей силы от напряжений на гранях элементарного параллелепипеда. Одинаковые напряжения на противоположных гранях отличаются на некоторое приращение.

После преобразований

Если сила, действующая на единицу массы элементарного параллелепипеда , скорость его движения , а ускорение , то уравнения движения параллелепипеда запишутся так:

Здесь DV – объем параллелепипеда, r - плотность.

После преобразований получим

(1.14)

Уравнения (1.14) называются дифференциальными уравнениями движения. В тензорной форме они имеют вид

(1.15)

В частном случае, который чаще всего встречается в задачах теории ОМД, если отсутствуют массовые силы , а движение частиц достаточно медленное (r×w_i » 0), уравнения (1.15) упрощаются

(1.16)

или в развернутом виде

(1.17)

и называются уже дифференциальными уравнениями равновесия.

Дифференциальные уравнения движения (1.14) и даже дифференциальные уравнения равновесия (1.16) не образуют замкнутой системы уравнений, так как три уравнения (1.14) содержат при заданных массовых силах девять неизвестных (s_ij и v _i), а в случае медленных течений в уравнения (1.17) входит шесть искомых компонентов тензора напряжения.

Примечание.

Наличие запятой в подстрочных индексах соотношений (1.15) и (1.16) означает дифференцирование по соответствующей координате (индексу).