Квантовая частица в потенциальной яме бесконечной глубины

Пусть частица массы m находится в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины (рисунок 2). Потенциальная энергия U удовлетворяет следующим граничным условиям

(14)

Рисунок 2

При таких граничных условиях частица находится внутри потенциальной ямы и не может выйти за ее пределы, т.е.

, (15)

где

. (16)

Используя стационарное уравнение Шрёдингера для случая U = 0, получим

(17)

где

(18)

Уравнение (17) описывает положение частицы внутри потенциальной ямы.

Для бесконечной одномерной потенциальной ямы имеем следующее:

1. Энергия частицы принимает определенные дискретные значения. Обычно говорят, что частица находится в определенных энергетических состояниях.

(19)

где n = 1, 2, 3...

2. Частица может находиться в каком-то одном из множества энергетических состояний.

3. Частица не может иметь энергию равную нулю.

4. Каждому значению энергии E_n соответствует собственная волновая функция , описывающая данное состояние.

5. Для собственной функции вероятность обнаружить частицу в точке x = L/2 максимальна. Для состояния вероятность обнаружения частицы в этой точке равна 0 и так далее (рисунок 3).

Рисунок 3

На рисунке 3 графически показаны плотности вероятности обнаружения частицы в различных квантовых состояниях.