Практическое задание к вопросу № 3. Доказательство

1. Докажите, что все однозначные натуральные числа являются решениями уравнения .

2. Докажите истинность высказываний:

а) если , то

б) если , то

3. Докажите методом от противного:

а) В неравностороннем треугольнике никакие два угла не равны.

б) Ни один треугольник не может иметь два прямых угла.

4. Докажите, что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего числа.

5. Докажите, что значение выражения – целое число, если .

6. Разность двух углов равна 10º. Докажите, что эти углы не могут быть вертикальными.

7. Докажите, что если , то .

8. Как изменится сумма двух чисел, если каждое слагаемое увеличить в 3 раза?

9. Каким числом может быть сумма двух чётных (нечётных) чисел? Рассмотрите несколько частных случаев; сделайте предположение. Как можно доказать его истинность?

10. Разделите числа 3²; 5² и 7² на 4. Чему равны остатки? Какое предположение можно сделать? Как его доказать?

11. Даны четыре последовательных нечётных числа. Верно ли, что произведение крайних чисел меньше произведения средних чисел на 8?

12. Верно ли, что:

а) разность квадратов двух последовательных чётных чисел кратна 8;

б) произведение двух последовательных чётных чисел кратно 8;

в) разность между квадратом натурального числа, не делящегося на 3, и единицей делится на 3?

13. 1²=1; 3²=9; 5²=25; 7²=49

Выскажите какое-либо заключение относительно квадратов нечётных чисел и укажите возможный способ установления его истинности.

14. Выясните, как рассуждают учащиеся начальных классов, получая утверждения:

а) (" а Î N) (0 + a = a) в) (" а Î N) (0 × a = 0)

б) (" а Î N) (1 × a = a) г) (" а,b Î N) (a × b = b × a)