Глава 6

Обучение арифметике¹

В «Психологии арифметики» ² Торндайка мы находим ярко выраженную позицию. «Рассуждение кардинально не отличается от привычки, оно представляет собой сов­местную организацию и кооперацию многих привычек и мыслимых фактов. Рассуждение не отрицает привычных связей, напротив, использует многие из них, особенно тес­но связанные с трудно уловимыми элементами ситуации. Отбор и оценку осуществляет не какая-то внешняя сила, а сам запас усвоенных учеником связей, имеющих отно­шение к проблеме» (с. 193—194). И «успешные реакции на новые данные, ассоциации по сходству и целенаправ­ленное поведение только кажутся противоположностью фундаментальным законам ассоциативного научения. В действительности они являются прекрасными примера­ми такого научения» (с. 191).

Читая 192-ю страницу этой книги, я был чрезвычайно поражен описанием того, каким образом можно запутать детей при выполнении арифметических заданий. Речь идет о детях, которым, после того как они овладели сло­жением и вычитанием однозначных и двузначных чисел, предлагаются следующие примеры:

:

Умножь Умножь Умножь
32 43 34

23 22 26

Торндайк пишет, что «они будут складывать числа, или вычитать нижнее число из верхнего, или умножать 3X2 и 2X3 и т. д., получая 66, 86 и 624...». Конечно, все мы встречали детей, которые будут решать задачи таким

¹ Эта глава также не вошла в первое издание книги. См. прим. Майкла Вертгеймера, с. 180.

² Thorndike E. L. The psychology of arithmetic. New York, Macmillan, 1922.

образом. Но не являются ли эти дети несчастными жерт­вами бессмысленных упражнений? И разве мы не знаем детей, которые откажутся проделывать эти бессмыслен­ные операции и скажут: «Я не могу это сделать»?

Очень часто ребенок, выполняющий такие бессмыслен­ные действия, неуверенно смотрит на учителя, стараясь по выражению его лица угадать правильный ответ; его установку можно выразить словами: «Что скажет учи­тель». Это происходит обычно в тех случаях, когда учитель просто дает задание, сообщая, какой ответ является пра­вильным, а какой — неправильным.

Но если учитель не говорит, подобно deux ex machina: «Это правильно, а это неправильно», то как в этом слу­чае обстоит дело с законом эффекта? Понимают ли пси­хологи, что закон эффекта не может быть объяснением просто потому, что в действительности он неприменим? Успех может способствовать достижению цели, но если ребенок не знает, достиг ли он успеха, то о каком вообще законе эффекта может идти речь?

Но верно ли, что, как, по-видимому, считают Торн­дайк и другие психологи, «достаточно одаренный ребе­нок» (с. 192), ищущий правильный способ решения, будет делать это лишь «посредством оперирования связя­ми», с помощью навыков и ассоциаций? Вот отчет одного ребенка, который не обладал выдающимися способностя­ми: «Это, конечно, очень сложно. Сначала я попробую решить менее сложную задачу. Можно? Например, 14X3. Если я умножу 4 на 3, то это будет равно... это значит 4,4,4. На самом деле неважно, беру ли я б, 16, 216 или какое-нибудь другое число... Если 3X4=12, то это значит двенадцать (что справа представлено в ви-

де 10 + 2). Ответ верен, потому что общее число одно и то же, только оно иначе представлено». (Получить «пра­вильный ответ» — значит осознать ρ-требование, состоя-

щее в том, что сумма с одной стороны должна равняться сумме с другой стороны.) «Итак, 14x3 означает то же, что 10X3 плюс 4X3, и теперь мне остается только найти результат». Решив эту задачу, он с удовольствием пере­шел к решению более сложной задачи и успешно спра­вился с ней.

Я не стал бы непременно называть такого ребенка гением. Просто в своих действиях он руководствовался не слепыми привычками или силой ассоциаций, а осознани­ем необходимости «равенства», изменения отдельных эле­ментов без изменения их арифметической суммы.

К счастью, дети очень часто обнаруживают вполне ес­тественную тенденцию к осмысленному решению таких задач, стремление к самостоятельному их решению, не прибегая к слепым пробам. (Конечно, в некоторых шко­лах эти прекрасные тенденции значительно ослабляются в первые же годы обучения. Порой мне кажется, что де­ти, еще не поступившие в школу, умнее тех, кто уже стал объектом механического обучения.)

И вообще я не встречал детей, которые делали бы та­кие бессмысленные ошибки первого типа, описанные Торндайком, разве что в некоторых школах вследствие слепых механических упражнений, усталости или не­брежности. По-видимому, существует два типа детей, которые вообще отказываются решать такие задачи: одни из них считают, что не следует пытаться делать то, чему их не учили, другие не могут решить задачу, несмотря на то что пытаются сделать это, и в то же время реши­тельно отказываются применять предложенные нелепые способы решения. Вместе с тем я встречал детей, кото­рые (отнюдь не будучи гениальными) успешно решали эту задачу.

Впервые столкнувшись с задачами типа 24X3, один ребенок действовал следующим образом: «Я не могу сде­лать это сразу; но ведь это 4 X 3 и 20 X 3».

И таким же образом он действовал, когда одним из со­множителей впервые оказалось трехзначное число. Или в

более сложных задачах, например 27 X 34, ребенок будет иногда рассуждать следующим образом:

20 X 30 + 20 X 4 7 X 30 + 7 X 4

Другое дело, если мы хотим, чтобы ребенок пользо­вался приемами быстрого счета, и требуем: «Ты не дол­жен решать задачу старым способом; ты должен сразу записать результат» (скажем, 27 X 3). Дети часто отказы­ваются от этого, они не понимают, о чем идет речь. В та­ких случаях я спрашиваю у них: «Ты мог бы это сделать так, чтобы записать только результат?» Тогда некоторые дети понимают, что дело не в том, чтобы получить пра­вильный результат, а в том, что нужно придумать какие-то технические приемы, гимнастику для ума. А это зна­чит, что нужно найти такой способ решения, который обладает целым рядом особенностей, таких, как разбие­ние на части, одна из которых может быть записана, а другую надо держать некоторое время в уме, другой спо­соб группировки. Необходимо осознать, что некоторые-числа можно записать, потому что в дальнейшем они не будут подвергаться изменению, а другие записать нельзя, поскольку они еще могут измениться.

Конкретно это означает следующее: в задаче 24X3 я могу спокойно записать 2 из 12, которое получаю, умно­жая 3 на 4, но не могу записать 1 из 12, потому что на нее может оказать влияние другая часть, результат умно­жения 20X3. Таким образом, я должен держать ее в уме, прибавить к последнему числу и записать только тогда, когда оно будет получено. Я не встречал ребенка, кото­рый мог бы сделать это без посторонней помощи. Я ду­маю, что причина этого не в том, что задача слишком трудна, а в том, что она слишком странна. (У многих детей нетрудно развить умение выполнять такие умствен­ные упражнения, но индивидуальные различия в этом отношении кажутся мне весьма значительными. И эта задача относится не к продуктивному мышлению, а к приобретению навыка выполнения таких упражнений.) «То, что требуется», требуется здесь не самой задачей, а определенной искусственной техникой, которая обладает практическими преимуществами. Эти требования направ­лены, в сущности, на достижение технической, а не ариф­метической цели.

Некоторые, возможно, думают, что не стоит позволять детям пользоваться первым методом, который они не бу­дут использовать в дальнейшем; многие считают, что не следует учить ребенка тому, от чего ему придется позд­нее отучаться. Я не согласен с этим. Мне думается, что хороший учитель начнет с первого способа, несмотря на то что ребенок в дальнейшем не будет им пользоваться. Обучение методу быстрого счета без понимания того, как он возникает, может вооружить ребенка шаблонными приемами, но оно не учитывает развития мышления (и когда забывается секрет метода, ученик теряется; этого не происходит при обучении другим методом).

Я думаю, что психологически неправильно начинать с задачи 32X23. Она приводит ученика в замешательство не только потому, что требует одновременно двух откры­тий, но также и из-за одинаковых цифр (в множителях) и из-за того, что некоторые цифры имеют разный смысл в зависимости от разряда (2X3, с одной стороны, равно 6, а с другой — 60). Способ группировки чисел в этой за­даче противоречит так называемому закону сходства, со­гласно которому существует тенденция группировать равные элементы. На таких примерах можно видеть, как равенство чисел отвлекает внимание и вызывает допол­нительные трудности.

Если первая задача, 24X3, окажется слишком слож­ной, можно предложить вспомогательные задачи, 42X3 или 12X3, которые не требуют переноса цифры в разряд десятков.

Во всяком случае, мне кажется, что лучше не учить ученика методу быстрого счета при отсутствии с его сто­роны действительного понимания, а дать ему возмож­ность самому выполнить задание, самому найти необхо­димые шаги. И делать это надо осмысленно, переходя от структурно простых задач к задачам все более сложным, что вовсе не означает, что предлагаемые задачи должны быть простыми в других отношениях.

Конечно, в таких случаях в ходе мышления исполь­зуются усвоенные знания. Но действия управляются не слепым применением того, что было усвоено в прошлом, как в том случае, который был описан на с. 192 в книге Торндайка ¹.

¹ Можно сравнить в точном экспериментальном исследовании результаты обучения умножению с помощью слепого метода ме-

Идеальным мне представляется такое индивидуальное обучение, когда методы обучения соответствуют индивиду­альным особенностям учащихся. Такое обучение может привести к поразительной экономии времени. Конечно, даже в арифметике есть вещи, которые следует выучить, запомнить, но их очень мало, и они тоже должны быть выучены осмысленно. И это никоим образом не должно заслонять или умалять более важные вещи, которым должно способствовать запоминание. Конечно, практиче­ски невозможно обучить всему индивидуально, что свя­зано также с невозможностью найти достаточно хороших учителей, и это требует известного компромисса. Но по­чему этот компромисс должен осуществляться именно в направлении механизации умов, разрушения природных способностей?

Вернемся теперь к основному различию между двумя способами обучения арифметике. Есть еще один путь их дифференциации. Допустим, что детей не обучали объек­тивному значению чисел, не знакомили с опытом обраще­ния с реальными объектами, а вместо этого формировали у них одни и те же ассоциации, без понимания «соответ­ствия» чисел и реальных объектов. В некоторых школах обучение, основанное на ассоциативной теории, часто при­ближается к такому состоянию. Приведет ли оно к таким же результатам, к таким же возможностям? Мы можем организовать обучение таким образом, что оно будет соз­давать одинаковые возможности для формирования всех ассоциаций, но будет исключать возможность реального мышления.

Мы можем «упростить» ситуацию таким образом, что она будет очень напоминать ситуацию, используемую в обычных экспериментах по обучению. Мы можем постро­ить «обучающую машину», в верхней части которой нахо­дится щель; в нее можно опускать маленькие коробочки; в нижней части машины расположена другая щель, из которой при опускании коробочки в верхнюю щель выпа-

ханических упражнений с результатами осмысленного обучения. Конечно, в некоторых целях, когда нужен робот, а не человек, первый способ может иметь даже известное преимущество в скоро­сти. Аналогичные проблемы возникают, когда подготовка врачей основывается не на знании физиологии, а на механическом вызуб­ривании способов лечения. (См. также: К a t о n a G. Organizing and memorizing.) — Прим. Майкла Вертгеймера.

дают другие маленькие коробочки. На коробочках написа­ны буквы. И вот вы учите ребенка тому, что при опуска­нии в щель коробочки, на которой написано о р о из ниж­ней щели выпадет другая коробочка, обозначенная бук­вой t. Если вы бросаете в щель коробочку с буквами t р о, то снизу появляется коробочка с буквами th. Если вы опустите коробочку с буквами th р о, то получите ко­робочку с буквой f.

Предположим, что испытуемый тщательно выучил все это, так что всякий раз, перед тем как опустить коробоч­ку в автомат, он может сказать, какая коробочка вы­падет.

Теперь мы спросим его, что он получит, если опустит коробочку, обозначенную буквами t p t. Мы можем столк­нуться с самыми дикими предположениями, с отказом от­вечать или с такой просьбой: «Разрешите мне, прежде чем ответить, посмотреть: что выпадет?» Но мы, по всей вероятности, не получим ответа: f. Действительно, эта невозможно предсказать.

Теперь допустим, что вместо пустых коробочек с бук­вами мы используем коробочки, в которых находится либо один маленький шарик (коробочка с буквой о), либо два маленьких шарика (коробочка с буквой t), либо три шарика (коробочка с буквами th), либо четыре шарика (коробочка с буквой f). А р означает: положите содержи­мое обеих коробочек в другую коробочку. Ответить на вопрос вы сможете, переворачивая коробочку или открыв ее и посмотрев на шарики. Все изменилось; вы с легко­стью предскажете f.

Короче говоря, если вы имеете дело не с отдельными элементами и слепыми связями между ними, а с предмет­ным содержанием и результатами действия, то результа­ты оказываются внутренне связанными с этим содержа­нием и операциями. Или, другими словами, если ребенка обучать арифметике не с помощью механических упраж­нений, а добиваясь понимания внутренней связи между операциями и результатами, он не будет «слепым».

Действуют ли здесь какие-то таинственные, загадоч­ные силы? Или врожденные априорные суждения? Нет. Опыт учит нас — и учит очень конкретно, — что резуль­таты действий закономерно связаны с осуществляемыми действиями и с используемым содержанием.

Предположим крайний случай: природа — или наша машина — будет такой, что ее действия будут управлять-

ся другими правилами, например правилом, согласно ко­торому если к какому-нибудь элементу прибавить что-то, то это всегда будет приводить к увеличению результата на 1 (а + х = а +1). И тогда 2 плюс 2 будет равно 3 (сум­ма логически должна быть равна 3) и предсказание «t р t даст f» окажется фактически неверным. В волшеб­ном мире могут быть такие результаты, и они возникают не случайно, а согласно закону, «по необходимости». В волшебном мире прибавление двух конкретных элемен­тов к какому-то третьему элементу может всегда давать в результате 2, что соответствует закону: а + b = 2. Для машины или для волшебного мира такое правило явля­ется вполне возможным. Но сразу видно, что знак равен­ства, или фактическая эквивалентность, не соответствует внутренней связи между левой и правой частями равен­ства; знак равенства больше не означает то, что он обыч­но означает, а именно что уравнение в целом разбито на части и что эти две половины в каком-то смысле эквива­лентны друг другу, левая часть эквивалентна правой.

К счастью, наш жизненный опыт учит нас определен­ным внутренним связям, которые осмысливаются благо­даря существованию ρ-отношения, связи условий и ре­зультата.

Если мы сравним первую ситуацию (бессмысленные буквы) со второй (знание смысла букв), то должны бу­дем заключить, что в некоторых школах обучение напо­минает первую процедуру. Нет никакого сомнения в том, что механическое осуществление некоторых отдельных операций освобождает человека для решения более труд­ных задач. Но при всей необходимости такой способ дей­ствий очень опасен. Опасен потому, что вместо того, что­бы делать ум открытым, увеличивать наш опыт осмыслен­ной работы в различных ситуациях, он делает наш ум механическим и затрудняет свободные и осмысленные действия.

Эта процедура могла бы стать даже еще более опас­ной, если бы большинство детей, к счастью, не оказыва­ло внутреннего сопротивления такому обучению. Дейст­вительно, некоторые дети ведут себя в школе как жертвы такого образования, но, к счастью, многие из них оказыва­ются достаточно гибкими и за пределами школы отказыва­ются от такой механической установки.

Повторяем: мы должны очень строго дифференциро­вать слепые ассоциации, слепые привычки, слепой опыт,

с одной стороны, и действительное мышление, постиже­ние внутренней связи между операциями и их закономер­ными результатами — с другой.

Вероятно, по причине того, что в математике легче обнаружить ρ-связи, педагоги издавна подчеркивали ее значение для образования — не столько из-за ее практи­ческой полезности в житейских делах, в вопросах купли-продажи и т. д., сколько потому, что в ней имеются уди­вительно четкие, ясные, прозрачные методы, позволяю­щие непосредственно постигать внутреннюю согласован­ность предмета и операций по его преобразованию. Старые педагоги полагали, что, имея дело с таким материа­лом, приобретая самостоятельный опыт работы с ним, развивая умение обращаться с математическими объекта­ми, мы приобретаем навыки и установки, которые позво­лят в других ситуациях искать, постигать закономерность, внутреннюю логичность ситуаций и руководствоваться ими.

Конечно, психологи, которые кладут в основу всего ассоциации, связи S — R, не глухи к достоинствам второго подхода, поскольку сами очень часто прибегают к нему. Но похоже, что они совершенно забывают о нем, когда хотят действовать «научно», или скрывают его с помо­щью таких терминов, как «подходящий», «удовлетвори­тельный» и т. д. Они явно признают второй подход, ког­да квалифицируют его с помощью таких понятий, как «организация» и «неуловимость». И возможно, они ска­жут, что в этих подходах лишь по-разному расставлены акценты. Но акцент на первом методе, на механическом заучивании и на том, чтобы сделать его в школе основ­ным, может привести к тому, что методы обучения будут противоречить естественной ориентации детей, которые обычно руководствуются разумными соображениями. Та­ким образом можно воспитать детей, которые будут вес­ти себя рабски подобно автоматам, решая не только арифметические, но и любые другие жизненные задачи, и будут слепо руководствоваться соображениями прести­жа, следовать моде, нормам, политическим или музыкаль­ным мнениям, во всем полагаясь на то, что сказал «учи­тель», на моду или авторитет.

Возможны, по-видимому, три фундаментальных выво­да. Либо основным является бессмысленный подход, а разумный есть лишь некоторое его усложнение; либо существует коренное различие между разумным и бес-

смысленным подходом и они управляются совершенно разными законами; либо — и признаюсь, что считаю это мнение наиболее близким к истине, — основными являют­ся осмысленные действия, а бессмысленные — только их частный случай, когда внутренняя согласованность, внут­реннее содержание приближается к нулю. Возможно, что вообще не существует естественной тенденции к механи­ческим действиям. Возможно, что механические действия возникают лишь в том случае, когда мы, как за соло­минку, хватаемся за внутреннюю привычку, а именно за постоянство. То, что люди очень часто руководствуются привычками, вовсе не означает, что привычки являются основным источником и отличительным признаком их деятельности; это лишь последнее средство, к которому прибегают в отсутствие возможности действовать разумно.