Формулы Рэлея-Джинса и Вина

Применяя к тепловому излучению классический закон равнораспределения энергии по степеням свободы (на каждую стоячую электромагнитную волну частотой ω приходится в среднем энергия kT) Рэлей и Джинс получили

r^*_ω,T =

Попытка получить закон Стефана – Больцмана из этой формулы приводит к абсурдному результату, получившему название – «ультрафиолетовая катастрофа»:

Формула Релея – Джинса согласуется с экспериментом только в области малых частот (больших значений λ).

В области больших частот ω (малых значений λ) эксперимент хорошо согласовывается с эмпирической формулой Вина

Гипотеза о квантах. Формула Планка

Планк получил формулу для u_ω,T, хорошо согласующуюся с экспериментальными данными во всем диапазоне частот. Для этого он ввел гипотезу, коренным образом противоречащую представлениям классической физики о непрерывном испускании и поглощении электромагнитного излучения веществом.

Планк предположил, что энергия испускаемого телом электромагнитного излучения может принимать не любые, а только вполне определенные дискретные значения

E_n = nε_o,

Пропорциональные некоторой элементарной энергии (кванту энергии)

ε₀ = hν = ω, где

h = 6,626^.10^-34 Дж ^. с и = = 1,05 ^. 10^-34Дж ^. с = 0,658 ^. 10^-15эВ ^. с - постоянные Планка.

Размерность физической величины «энергия время» в механике называют действием, поэтому постоянную Планка называют также квантом действия. Постоянная Планка имеет также размерность момента импульса (Дж ^. с = Н ^. с ^. м)

Используя понятие кванта энергии Планк получил известную формулу Планка

.

Задача

Используя формулу Планка для r*_ω,T доказать законы Стефана-Больцмана и Вина.

Решение:

1) R* =

Из таблиц определенных интегралов («Приложения» к сборнику задач Иродова)

, т.е. R* = R* = σ T ⁴, где σ = .

2) Закон смещения Вина получается при анализе формулы Планка на экстремум.

0 = , т.е.

3

При α можно записать .

Тогда

Учитывая, что , получаем окончательно , где .