Задачи к лекциям № 3-4

3.1	Из опытов Резерфорда следует, что радиус ядра R меньше чем 10-12см, а из опытов по измерению характеристик b - частиц, вылетающих из ядра, что энергия первых не превосходит 20 МэВ. Исходя из соотношения неопределённости, показать, что этот экспериментальный факт противоречит электронно-протонной модели ядра, предложенной Томпсоном (Модель, когда ядро содержит А -протонов и (А-Z) –электронов).
	Ответ: Если бы частица (данном случае электрон) находилась внутри ядра, то её импульс р определялся бы как . В релятивистском приближении энергия электрона может быть оценена по формуле Е=рс.Это даёт для электрона, находящегося в ядре значение . Эта энергия значительно больше энергии электронов, наблюдаемых при b -распаде ядра.
3.2	Определить значения скалярного произведения s1s2 спинов (1/2) двух частиц в состояниях, в которых суммарный спин системы S=s1+s2 имеет определённые значения (0 или 1).
	Ответ: Значение скалярного произведения двух квантовых векторов s1 и s2 может быть получено из условия S2=(s1+s2)2. Отсюда получаем S2= s12+s22+2s1s2; или s1s2=1/2{S(S+1)–s1(s1+1)–s2(s2+1)}. Таким образом, имеем: s1s2=1/4 при S=1; s1s2= -3/4 при S=0.
3.3	Пусть N невзаимодействующих между собой электронов с минимально возможной энергией заключены в некотором ящике объёмом V. Найти в нерелятивистском приближении чему равна энергия U всех электронов и давление этого так называемого вырожденного электронного газа.
	Ответ: Согласно принципу Паули, в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного электрона. Поэтому в вырожденном электронном газе заполнены все состояния от наименьшей (eмин=0) до наибольшей (eмакс=р2макс/2me), величина которой определяется числом электронов в объёме V. Число квантовых состояний электрона с импульсом р в интервале от р до р+dp равно V×4pp2dp/h3. Умножая эту величину на 2 (две возможные проекции спина электрона) и интегрируя по импульсам электронов от 0 до рмакс, получаем полное число N в объёме V в состоянии с наименьшей возможной энергией: . Полная энергия U складывается из энергий электронов, находящихся в различных квантовых состояниях . Подставляя сюда значение рмакс, находим энергию газа . Давление этого «вырожденного электронного газа» легко найти, если воспользоваться соотношением P=-dU/dV. Получаем .
3.4	Найти значения полного момента атома, если спин ядра атома равен 5/2 , а момент электронной оболочки составляет 3/2 . Для каждого значения полного момента J указать возможные значения проекций моментов mJ .
	Ответ: Таким образом, может принимать 4 значения от с соответствующими им проекциями.
3.5	Используя формулу Вейцзекера, определить радиусы зеркальных ядер 7Li и 7Be, если дефекты масс атомов этих ядер равны, соответственно, 14,91МэВ и 15,77МэВ. Сравнить с радиусом, полученным по формуле для радиуса ядра с r0=1,4 Фм.
	Ответ: Кулоновская энергия равномерно-заряженного ядра-шара равна . Из капельной модели ядра (формула Вейцзекера) следует, что разница энергий связи зеркальных ядер есть разница их кулоновских энергий
3.6	Дефект массы атома 9Be равен 11,35 МэВ. Определить энергию связи ядра 9Be относительно распада его на две a -частицы и нейтрон. Дефекты масс атома 4Не и нейтрона равны, соответственно 2,425МэВ и 8,071МэВ.
	Ответ: =1,57МэВ
3.7	Найти энергию связи ядра, которое имеет равное число протонов и нейтронов, и радиус которого в два раза меньше радиуса ядра 64 Zn.
	Ответ: . Отсюда находим АХ =8. Учитывая, что это ядро имеет равное число протонов и нейтронов, получаем ядро . По формуле Вейцзекера W= a ×A- b ×A2/3- g × Z2/A1/3., беря a =15,75МэВ, b =17,75МэВ и g =0,71МэВ, получаем W= 49,32МэВ. В то же время, считая точно, получаем
3.8	До открытия нейтронов предполагалось, что ядра состоят из протонов и электронов. Покажите, что в таком случае атом 14 N был бы бозе-частицей. Опытные факты (спектр молекулы азота) показывают, что этот атом есть ферми-частица. Это было первое свидетельство в пользу существования новой ядерной частицы. Покажите, как нейтронная гипотеза решает эту задачу.
	Ответ: Если бы ядра состояли из электронов протонов, то в ядре атома азота должно было бы быть 14 протонов и 7 электронов. Кроме того, в электронной оболочке атома должны быть ещё 7 электронов. Следовательно, всего в атоме азота содержалось бы 28 фермионов. Суммарный собственный момент (спин) такой системы должен быть целым. Это противоречило эксперименту, который указывал на полуцелый спин. Такое противоречие с экспериментом, известное в истории ядерной физики как «азотная катастрофа», легко снимается, если предположить существование электрически нейтральной ядерной частицы (нейтрона) с массой протона и с полуцелым спином. В этом случае атом азота содержит 7 протонов и 7 нейтронов в ядре и 7 электронов в электронной оболочке. Спин такой системы будет полуцелым, и атом азота, следовательно, должен быть ферми-частицей.
3.9	Что представляют собой мюонные атомы? Почему имеет смысл использовать мюонные атомы при изучении структуры ядра?
	Ответ: Мюонный атом (мюоний) – это атом, в котором электрон замещен на мюон. Так как боровский радиус у мюония в (mm/me=207) раз меньше чем у обычного атома, то «орбита» мюона в 1s-состоянии в значительной мере находится в области ядра. Это обстоятельство позволяет исследовать структуру ядра.

4.1.	Величина W/A даёт среднюю энергию связи одного нуклона в ядре. Энергия отрыва нуклона – это энергия, которая требуется, чтобы удалить из ядра один нуклон. Выразите энергию отрыва протона через среднюю энергию связи.
	Ответ: Пусть таким нуклоном является протон. В этом случае энергия отрыва нуклона (протона) Sp может быть определена как Sp=M(Z,N)-M(Z-1,N)-mp. Из определения средней энергии связи W(Z,N)/A=[M(Z,N)-Zmp-Nmn]/A следует, что Sp=W(Z,N)-W(Z-1).
4.2.	Найдите соотношение между энергией связи В и дефектом массы D. Можно ли использовать какую-либо из этих величин при исследовании стабильности изобарных ядер?
	Ответ: По определению D=М(А)-uА, а В=М(А)-Zmp-(A-Z)mn. Отсюда, В=D - Z×Dp –(A-Z)Dn; или В=D + Z(Dp-Dn) –A×Dn. При исследовании стабильности изобарных ядер можно использовать любую из этих величин.
4.3.	Постройте график зависимости дефекта массы D от Z для изобарных ядер A =90. Объясните, почему рассматриваемое семейство ядер укладывается на две параболы.
	Ответ: Ядра с чётным значением А могут быть либо чётно-чётными (чётное число протонов и чётное число нейтронов) либо нечётно-нечётными (нечётное число протонов и нечётное число нейтронов). Это приводит к резкому изменению энергии связи за счёт эффекта спаривания при замене протона на нейтрон и наоборот.
4.4.	Вычислите энергию перехода 2p®1s в мюонном атоме 208 Pb при предположении, что ядро 208 Pb точечное. Сравните с экспериментальным значением этой величины 5,8 МэВ.
	Ответ: Для водородоподобного мюонного атома . В этом случае энергия 2p®1s перехода в мюонном атоме 208Pbравна .
4.5.	Опишите, как определить экспериментально следующие характеристики дейтрона: а) энергию связи; б) спин; в) изоспин
	Ответ: а) энергию связи дейтрона можно определить из эксперимента по нахождению порога развала дейтрона при взаимодействии g-квантов соответствующих энергий с мишенью из тяжёлого водорода. б) спин дейтрона можно найти, изучая расщепление полностью ионизованных пучков атомарного тяжёлого водорода в сильном магнитном поле. в) изоспин, используя закон сохранения, в специально подобранной ядерной реакции.
4.6.	Используя формулу Вейцзекера, найти какая энергия освобождается при делении 1г 235U под действием тепловых нейтронов на два симметричных осколка. Считать, что деление сопровождается вылетом двух нейтронов.
	Ответ: Согласно формуле Вейцзекера энергия связи ядра определяется уравнен.: , где А -массовое число; Z -число протонов; N - число нейтронов в рассматриваемом ядре; a =15,75 МэВ; b =17,75 МэВ; g =0,71 МэВ; e =24,7 МэВ; Подставляя соответствующие значения в формулу Вейцзекера получаем: WU=1777,5МэВ; WPd=980,7МэВ. Энергия, освобождающаяся при делении ядра урана под действием теплового нейтрона, равна разности масс ядер DЕ=(МU+mn)-(2MPd+2mn) = WPd- WU=183,9МэВ.
4.7.	Определить энергии связи и удельные энергии связи ядер при заданных дефектах их атомных масс 4Не(D=2,425), 7Li(D=14,908), 12С, 13С(D=3,125) и 27Аl(D=-17,197). (D1H=7,289); (Dn=8,071).
	Ответ: Энергия связи ядра определяется выражением: Wсв=Mяд-Zmp-(A-Z)mn; Mяд= Mат- Zme, в пренебрежении энергией связи электронов. В то же время атомный дефект масс определяется как D(A,Z)= Mат-uA, где u- атомная единица массы а А-.атомный номер ядра. Отсюда получаем Wсв(A,Z)= D(A,Z)-Z×D(1H1)-(A-Z)×Dn.
4.8.	Рассмотрите эксперимент с эффектом Мёссбауэра, в котором регистрируемый фотон, падающий в гравитационном поле, приобретает дополнительную энергию. Почему такой опыт нельзя провести с оптическими фотонами? (см. R.V.Pound, J.L.Snider, Phys. Rev., 140B,788,(1965)).
	Ответ: Согласно специальной теории относительности всякая энергия обладает гравитационной (тяготеющей) массой. Причём приращение энергии соответствует разности потенциальных энергий точек, между которыми производятся измерения . Так как энергия оптических фотонов на три порядка меньше ядерных, то изменение их энергии в предлагаемом опыте не поддаётся измерению.
4.9.	Найдите скорость источника мёссбауэровской установки в опыте Паунда и Ребке по измерению изменения энергии g - кванта в гравитационном поле Земли (h=22,6 м; источник 57Fe).
	Ответ:
4.10.	Уровень ядра 57Fe, при распаде которого испускается g -квант с энергией 14,4 кэВ, имеет время жизни 98 нс. Вычислите в эВ полную ширину Г этого уровня на половине максимума.
	Ответ: Так как t=h/Г, то Г=6,626×10-27×6,24×1011/98×10-9=0,42×10-9эВ.
4.11.	Означает ли отсутствие массы покоя у частицы, что эта частица не обладает гравитационным взаимодействием? Если не означает, то каким образом найти силу взаимодействия этой частицы с гравитационным полем.
	Ответ: Нет, не означает. Согласно специальной теории относительности всякая энергия обладает гравитационной (тяготеющей) массой.
4.12.	Напишите критерии для массы атома m(A,Z), позволяющие определять случаи, когда ядро (A,Z) стабильно относительно: а) a–распада; б) электронного распада; в) позитронного распада; г) электронного захвата.
	Ответ: а) М(A,Z)-М(A-4,Z-2)-ma£0; б) М(A,Z)-М(A,Z+1)-mе£0;в) М(A,Z)-М(A,Z-1)-mе£0. М(A,Z)-М(A,Z-1)-mе£0.
4.13.	Что такое EJ и MJ g-переходы в атомных ядрах?
	Ответ: EJ –электрический g-переход, характеризующийся мультипольностью, равной J и чётностью p=(-1)J, а MJ – магнитный g-переход, характеризующийся мультипольностью, равной J и чётностью p=(-1)J+1.
4.14.	Определить тип и мультипольность g-квантов для переходов 2+ в 1- и из 1- в 0-.
	Ответ: в первом случае Е1+М2; во втором случае М1

Задачи к лекции 5.

5.1	Период полураспада 234U равен Т1/2=2,48×105 лет. Какая доля первичных атомов 234U осталось бы на Земле в настоящее время, если бы происходил только процесс радиоактивного распада этого элемента (возраст Земли t=4,5×109 лет)? Как объяснить, что в природном уране содержится примесь 234U в количестве 0,055%?
	Ответ: . Существование 234U обязано a -распаду 238U и b - -распаду 234Th и 234Pa. .
5.2	Ядро 64Cu превращается с вероятностью h1=62% в ядро 64Ni и с вероятностью h2=38% в ядро 64Zn. Период полураспада ядра 64Cu составляет 12,8 ч. Через какое время интенсивность регистрируемых спектрометром электронов снизиться в два раза?
	Ответ: Если ядро имеет две ветви распада , то его постоянная распада равна сумме постоянных его составляющих l= l1 +l2. Так как l1/l=h1 l2/l=h2, то Т1/2(Zn)=ln2/l2=ln2/(l×h2)= Т1/2(Cu)/h2=33,68час.
5.3	В настоящее время в природном уране содержится 99,28% 238U и 0,72% 235U. Вычислить возраст Земли в предположении, что в момент образования солнечной системы количества 238U и 235U были одинаковыми.
	Ответ:
5.4	Распад покоящихся ядер 210Ро происходит из основного состояния и сопровождается испусканием двух групп a-частиц: основной с энергией Еa0=5,30 МэВ и слабой (по интенсивности) с энергией Еa1=4,50 МэВ. Найти энергии a -распадов этих ядер и энергию g-квантов, испускаемых дочерними ядрами.
	Ответ:
5.5	Неподвижное ядро 6Не испытывает b -распад, в результате которого дочернее ядро оказалось непосредственно в основном состоянии. Энергия распада Q=3,50 МэВ. Под каким углом к направлению вылета электрона испущено нейтрино, если электрон с энергией Ее=0,60 МэВ вылетел под прямым углом к направлению движения ядра отдачи?
	Ответ: При условии Ее>>Еядра
5.6	Оценить высоту центробежного барьера для a -частицы с l =3, вылетающей из ядра 238 U.
	Ответ:
5.7	Определить энергию отдачи конечного ядра, образующегося при е -захвате в ядре 7 Ве.
	Ответ: е-захват идёт по схеме: с выделением энергии Q=0,861МэВ. Поскольку полный импульс атома равен 0, то ; из соотношения mn<<mLi, следует, что ELi .
5.8	Покажите, что энергией отдачи протона можно пренебречь при b - распаде нейтрона
	Ответ: . Так как импульс протона равен суммарному импульсу электрона и антинейтрино и DЕb=Ер+(Ее+Еn), то в любом случае .
5.9	Объяснить, почему b- -распад ядра 24Na происходит не на основной (0+) или первый возбуждённый (2+) уровни, а на второй возбуждённый (4+) уровень ядра 24Мg.
	Ответ: Ядро 24Na распадается из основного состояния (4+) на второй возбуждённый (4+) уровень ядра 24Мg в силу того, что при b- -распаде с наибольшей вероятностью реализуются сверхразрешённые Фермиевские переходы (DJ=0; DL=0).
5.10.	Рассчитать верхнюю границу спектра электронов распада трития: 3Н®3Не+ е-+nе. Определить вероятное значение орбитального момента пары лептонов. D3Н=14,950 МэВ; Jp=1/2+ D3Не=14,931 МэВ; Jp=1/2+
5.11.	При распаде покоящегося нейтрона образуются протон, электрон и антинейтрино, разлетающиеся с разными кинетическими энергиями. Какую долю максимальной кинетической энергии, выделяющейся в процессе распада, способно унести антинейтрино? (Указать наиболее низкое значение). А) 0%; Б) 10-1%; в) 30%; Г) 100%.
	Ответ А).В данном случае всю энергию уносят электрон и протон.
5.12.	Почему теоретически возможен (и происходит) a - распад атомных ядер. А) потому, что он был обнаружен экспериментально ранее других видов распада; Б) потому, что a - частицы являются ядрами атомов инертного газа гелия; В) потому, что ядро атома гелия имеет самую большую удельную энергию связи из всех известных нуклонных конфигураций ядер; Г) потому, что гелий – самое распространённое вещество во Вселенной после водорода.
	Ответ В).

Date: 2015-05-18; view: 1205; Нарушение авторских прав