Операторы для физических величин

В квантовой механике устанавливается правило, позволяющее находить волновую функцию, описывающую то состояние системы, в котором данная физическая величина (или набор величин) имеет определенное значение. Для этого каждой физической величине сопоставляется свой оператор так, чтобы его собственные значения давали возможные значения этой величины; тогда его собственные функции будут описывать соответствующие состояния системы.

Так, например, операторы для составляющих количество движения имеют вид:

(7)

Функция (6), описывающая то состояние частицы, в котором ее количество движения имеет значения р_x, p_y, p_z , удовлетворяет уравнениям

P_x ψ=р_xψ; P_y ψ= p_yψ; P_z ψ=p_zψ, (8)

т. е. она представляет собой собственную функцию операторов (7).

Дальнейший важный пример представляет предложенный Шредингером оператор энергии частицы массы m в поле с потенциальной энергией U(x, у, z). Этот оператор составлен по образцу классической функции Гамильтона

H = (1/2 m)(P²_x + P²_y + P²_z) + U(x,y,z), (9)

И имеет вид

(10)

Н = (- h' ²/2 m)Δ + U, (11)

где Δ —оператор Лапласа.

Применяя формулированное выше общее правило к энергии системы, состоящей из одной частицы, приходим к уравнению Шредингера

- (h' ²/2 m) Δψ + U ψ = E ψ (12)

определяющему уровни энергии и стационарные состояния такой системы.

Для системы, состоящей из многих частиц (например, для многоэлектронного атома), оператор энергии также строится по образцу классической функции Гамильтона. Однако в этом случае необходимо учесть также свойства симметрии волновой функции относительно перестановок координат одинаковых частиц (электронов). (См. об этом § 14.)

По классическому образцу строятся также некоторые другие операторы, например операторы для орбитального момента количества движения электрона:

M_x = yP _z - zP _y; M_y =zP _x - xP _z; M_z = xP_y - yP_x (13)

Но общих правил составления операторов для физических величин указать нельзя. Надлежащий выбор операторов позволяет описывать и такие свойства атомных объектов, какие вообще не могут быть описаны на языке классической физики. К числу таких свойств относится неизвестная классической физике внутренняя степень свободы электрона, представляющая некоторую ана-

логию с собственным моментом количества движения иназываемая спином. Эта степень свободы проявляется особенно заметно в поведении электронов в магнитном поле и в особого рода взаимодействии электронов между собой, выражаемом принципом Паули. К этому вопросу мы вернемся в § 14.

Сопоставление операторов физическим величинам позволяет выразить в математической форме требование, чтобы физические условия, необходимые для одновременного измерения двух величин, были совместны. Это требование означает возможность такого состояния, в котором обе эти величины имеют определенные значения; для этого необходимо, чтобы существовала общая собственная функция соответствующих операторов Последнее условие будет во всяком случае выполняться, если результат применения этих двух операторов к любой функции не будет за висеть от их порядка (т. е если оба оператора коммутируют). Если же, наоборот, независимость от порядка применения операторов не имеет места ни для какой функции, то это значит, что условия для измерения той и другой величины друг друга исключают

В качестве примера рассмотрим операторы для одноименных составляющих радиус-вектора и количества движениячастицы.Имеем

для любой функции ψ. Иначе говоря,

хР_x — Р_x х =ih'. (14)

Следовательно, данные операторы не коммутируют, иусловия для точного измерения координаты и количества движения несовместны, как это и должно быть в силу неравенств Гейзенберга. Можно показать, что неравенства Гейзенберга вытекают из соотношений вида (14) и из выражения для вероятностей через волновую функцию

Таким образом, описание состояния системы посредством волновой функции автоматически учитывает возможности измерения.

Date: 2015-05-18; view: 471; Нарушение авторских прав