Квантовий розрахунок воднеподібних атомів

Звичайне стаціонарне рівняння Шредінгера має вид

, (1)

де хвильова функція, потенціальна енергія електрона в полі ядра, маса електрона, ^¾ оператор Лапласа.

В аналітичному вигляді рівняння (1) розв'язується лише для воднеподібних атомів. До них відносяться власне водень та група одновалентних лужних елементів, однократно іонізований атом гелію , двічі іонізований атом літію і т.п. Потенціальна енергія електрона у таких атомів у полі ядра із зарядом Ze записується у вигляді

, (2)

де r ¾ відстань електрона від ядра. При цьому рівняння Шредінгера запишеться так

. (3)

Розглянемо коротко результати розв'язку рівняння (3). Потенціальна енергія електрона у воднеподібних атомах, як центрально симетричній структурі, залежить від відстані r, азимутального кута та полярного кута . Відповідно до цього і , яка є добутком радіальної та азимутальної псі-функцій .

Числа n, l, m мають назву квантових чисел:

· n=1,2,3,… ¾ головне квантове число, що визначає енергію електрона у атомі та ймовірність знаходження електрона на відстані r від ядра;

· l=0,1,2,…,n-1 – азимутальне (орбітальне) квантове число, що визначає момент імпульсу електрона у атомі;

· m=0, ± 1, ± 2,..., ± l – магнітне квантове число, що визначає проекцію моменту імпульсу на вісь , яку ототожнюють із напрямком вектора магнітної індукції зовнішнього електромагнітного поля.

Радіальна частина псі-функції визначає густину ймовірності знаходження електрона на відстані r від ядра, яка задається виразом . Положення максимумів цієї ймовірності позначимо через і воно представляється виразом

, (4)

а на малюнку представлено графік залежності ймовірності для атома водню у координатах , який називається радіусом Бора. Енергія електрона визначається виразом

, (5)

де енергія основного стану атома водню. Значення і приведені у таблиці

Дж	13,6 еВ	м