Квантовый ликбез - 9. Квантовое состояние

Предыдущие посты

После некоторого перерыва продолжаем наши блуждания в квантовых дебрях. Напоминаю, что вопросы, замечания и критика от заинтересованных лиц всячески приветствуются.

В этой части мы поговорим о том, что такое квантовое состояние, а заодно повторим и уточним некоторые важные моменты.

(Свернуть)

Если вы осилили предыдущие части, то некоторое представление о том, что такое квантовое состояние у вас уже имеется. Попробуем же превратить это смутное представление в чёткое понимание. Для начала уточним, что понимается под физическим состоянием в классической физике. Состояние – это некоторый набор значений физических величин, связанных с объектом. Обычно, говоря о физическом состоянии объекта, мы не рассматриваем все физические величины сразу. Например, если мы говорим о положении объекта в пространстве, то нам достаточно знать три числа, а именно, значения трёх физических величин: координат объекта X, Y, Z в заданной системе отсчёта. Во всяком случае, когда речь идёт об объекте типа «материальная точка». Или вообще нас может интересовать только одно число: значение координаты - X. Это будет «координатное представление» физического состояния.

В других задачах нас может интересовать не координата, а импульс частицы (импульс, напомню, это произведение скорости объекта на его массу). Тогда мы будем рассматривать состояние объекта в «импульсном представлении». Опять же, импульс в трёхмерном пространстве – это трёхмерный вектор. Он задаётся тремя числами: проекциями вектора импульса P на координатные оси X, Y, Z, но если мы говорим о движении точки вдоль оси X, то состояние в импульсном представлении полностью определяется одним числом – P_x, то есть проекцией вектора импульса P на ось X. Или, если говорить компактнее – X -компонентой вектора P.

Надеюсь, понятно, но резюмирую. Состояние всегда рассматривается в каком-то представлении. Представление – это ограниченный набор физических величин. А состояние – это соответствующий набор конкретных значений этих величин. В классической физике обычно слово «представление» не используют. Просто говорят что-то вроде: «X = 10». Тут тебе и представление (координата X) и состояние (значение координаты X), как говорится, «в одном флаконе».

Теперь попробуем осилить «квантовое состояние». Мы говорили, что квантовая реальность – это бесконечная совокупность одновременно существующих виртуальных вариантов. Каждый отдельный виртуальный вариант можно рассматривать как виртуальное классическое состояние, стало быть, квантовое состояние – это совокупность бесконечного числа виртуальных классических состояний. Чтобы лучше уяснить смысл этого утверждения, давайте посмотрим, как выглядит квантовое состояние частицы в координатном представлении. Для простоты будем рассматривать только одну координату – X.

Классическое состояние в координатном представлении в какой-то момент времени можно представить себе как точку на координатной оси X. На рисунке 9.1 это точка x₁.

Для наглядности на рисунке условно показан вариант (закрашенным синим кружочком), он «привязан» к точке x₁. В классическом понимании это никакой не виртуальный, а единственный реальный вариант.

Важное замечание: здесь и дальше в этой части ликбеза мы говорим о «мгновенном» состоянии, то есть, о состоянии в определённый момент времени. Вот грубая, но наглядная аналогия: мы рассматриваем только «фотографию» состояния. А «кино» про состояние мы будем смотреть в следующей части. В смысле, будем разбираться, как квантовое состояние меняется во времени.

Теперь переходим от классического состояния к квантовому. Итак, квантовая реальность – это бесконечное количество виртуальных классических состояний. В нашем случае это означает, что частица расположена (виртуально) во всех точках пространства. Другими словами, частица обладает одновременно всеми значениями координаты X. Значит, в самом грубом приближении квантовое состояние в какой-то момент времени можно представить себе так:

Теперь синими кружочками (пустыми) показываем виртуальные варианты. Тут у нас нарисовано «квантовое состояние», включающее всего четыре виртуальных «классических» состояния. На самом деле их – бесконечность. На рисунке это показать нельзя, поэтому просто представьте, что эти синие кружочки бесконечно плотно расположены вдоль оси X. При этом пусть вас не пугает то, что кружочки будут налезать друг на друга. Напомню, кружочки – это у нас не разные частицы, а разные виртуальные варианты классического расположения одной и той же частицы.

Это, повторяю, очень грубое приближение. Уточним его. В пятой части мы ввели понятие «группа». Группа – это бесконечное множество виртуальных вариантов, приводящих к одному и тому же наблюдаемому результату. В нашем случае группа – это бесконечное число классических состояний с одним и тем же значением координаты X. Значит, ради приближения к истине, к каждой точке пространства мы должны нарисовать не один виртуальный вариант, а бесконечную группу вариантов.

На рисунке 9.3 я изобразил эти группы в виде таких «колод» виртуальных вариантов. Опять же прошу включить воображение и домыслить эту вынужденно убогую картинку до «настоящей квантовой реальности». Во-первых, представьте, что каждая из колод содержит бесконечное количество вариантов. Во-вторых, представьте, что все варианты одной группы на самом деле находятся в одной точке (что естественно, ведь у всех вариантов группы одинаковое значение координаты). И, в-третьих, представьте, что этих групп-колод не четыре, а бесконечное количество, по одной на каждую точку оси X.

Но и такого приближения тоже недостаточно. Третьим постулатом мы постановили, что каждый виртуальный вариант обладает специфической квантовой характеристикой: квантовым вектором. Значит, давайте в каждый кружочек на нашей картинке впишем красную стрелочку, которая будет символизировать направление квантового вектора. Варианты одной группы расположим теперь не «колодой», а «колонной», чтобы стрелочки было видно.

Вот эта картина (если её домыслить до бесконечностей) более-менее адекватно отражает то, что называют квантовым состоянием в координатном представлении. Надо только помнить, что направления квантовых векторов – это направления в условном математическом пространстве (для умников напомним – это вектора на комплексной плоскости). И они в общем случае не имеют ничего общего с направлениями координатных осей.

Итак, классическое состояние объекта в координатном представлении – это просто определённое значение координаты. Квантовое состояние в координатном представлении – это бесконечное количество групп вариантов, то есть, виртуальных классических состояний, отдельная группа для каждого значения координаты. При этом каждая группа – это бесконечное количество вариантов. И для каждого варианта – своё направление квантового вектора. Аналогично описывается квантовое состояние в любом другом представлении. Скажем, в импульсном представление – это бесконечное количество вариантов виртуальных классических состояний, для каждого варианта своё (одно!) значение импульса и своё (тоже одно!) направление квантового вектора.

Чтобы как-то математически оперировать с квантовым состоянием и решать практические задачи с квантовыми объектами, мы должны, казалось бы, знать направление квантового вектора каждого виртуального варианта, при том что этих вариантов бесконечное множество. Прикиньте сложность? К счастью, этого не требуется. Мы говорили раньше, что варианты одной группы находятся в состоянии суперпозиции. Квантовые вектора одной группы вариантов складываются и образуют единый квантовый вектор группы – амплитуду вероятности. Так вот, для решения практических задач с квантовыми объектами достаточно знать «всего лишь» амплитуды вероятности для каждой группы. Но и о виртуальных вариантах полезно помнить, потому что они придают абстрактной квантовой математике конкретный физический смысл. И вот что ещё: понятие о виртуальных вариантах нам ОЧЕНЬ пригодится, когда мы будем разбирать принцип действия квантового компьютера.

Давайте теперь изобразим наше квантовое состояние (рисунок 9.4) в амплитудах вероятности. Больше не будем рисовать кружочки – варианты, ограничимся стрелочками – векторами. Сложим квантовые вектора вариантов в каждой из четырёх показанных групп, и получится вот такая картина.

Смотрите, на рисунке 9.4 в группе, соответствующей координате x₁, у каждого квантового вектора есть вектор «антипод» с противоположным направлением. Векторная сумма по группе x₁ равна нулю. Все виртуальные варианты «нейтрализованы» деструктивной суперпозицией и не могут реализоваться. Это значит, что если мы захотим измерить координату частицы, находящейся в таком квантовом состоянии, то вероятность получить результат x₁ равна нулю.

В группах x_2, x_3, x_n векторная сумма не равна нулю. Это означает, что есть ненулевая вероятность обнаружить частицу в этих точках, если мы измерим координату X в данный момент времени. При этом наиболее вероятно обнаружить частицу в точке x₃, поскольку длина вектора амплитуды вероятности в этой точке самая большая.

И опять попрошу вас самостоятельно домыслить этот рисунок «до бесконечностей». Представьте, что с каждым значением координаты X связан вектор амплитуды вектор амплитуды вероятности определённой длины и определённого направления. Надеюсь, вам поможет в этом рисунок 9.6.

Квантовое состояние показано в виде трёхмерного графика: одна пространственная координатная ось X, и две координатных оси условного пространства квантовых векторов. Выше уже упоминалось, что квантовые вектора и их суперпозиции – групповые амплитуды вероятности – математически эквивалентны комплексным числам. Соответственно, условное пространство амплитуд вероятности показано как комплексная плоскость с координатными осями «Re» (действительная часть комплексного числа) и «Im» (мнимая часть).

Так вот, в таком комбинированном ракурсе мгновенная «фотография» квантового состояния частицы в определённый момент времени (допустим, t₁) выглядит как расширяющаяся, а затем сужающаяся спираль, которую вектор амплитуды вероятности описывает вокруг оси X. Вектора нарисованы для наглядности только для нескольких точек оси X, для остальных точек домыслите их самостоятельно. Если мы проследим, как ведёт себя вектор амплитуды вероятности с изменением координаты X от минус бесконечности до плюс бесконечности, то мы увидим, что он равномерно «вращается» вокруг оси X. При этом величина (длина вектора) амплитуды вероятности растёт от бесконечно малой величины, в какой-то точке достигает максимума (на рисунке это точка x₃, где наибольший «диаметр» спирали), затем уменьшается обратно к бесконечно малой. Да, на всякий случай напомню, что мы тут нарисовали квантовое состояние «упрощённо», в групповых амплитудах вероятности. Полная картина квантового состояния должна была бы включать бесконечное множество разнонаправленных квантовых векторов единичной длины для каждой точки X. Но, повторяю, описание квантового состояния в амплитудах вероятности вполне достаточно для практического решения квантовых задач, поэтому таким описанием мы и будем пользоваться дальше.

Эта абстрактная картинка имеет вполне конкретный физический смысл Напоминаю, что относительная (нормированная) длина вектора амплитуды вероятности определяет вероятность получить соответствующий результат при измерении. Помним, да, что вероятность равна длине вектора амплитуды вероятности, возведённой в квадрат? В нашем случае, если мы в момент времени t₁ измерим координату X, то с наибольшей вероятностью получим значение, близкое к x₃, там, где длина амплитуды вероятности максимальна. Менее вероятно получить значения около x₂ или x₄. И уж совсем маловероятно обнаружить частицу в окрестностях точек x₁ или x₅, где амплитуда вероятности близка к нулю. Если нарисовать соответствующий график зависимости вероятности от координаты X, то он будет выглядеть примерно так:

трого говоря, в данной ситуации речь идёт не о вероятности, а о плотности вероятности, но сейчас это не принципиально.

Надо сказать, что форма «спирали» квантового состояния, а значит и форма графика вероятности, может быть различной. Вероятность может иметь ярко выраженный «пик» в окрестностях какой-то координаты x₁, как на рисунке 9.8-а. В этом случае говорят о малой неопределённости, имея в виду, что при измерении координаты X мы определённо получим значение, близкое к x₁. Или, наоборот, вероятность может быть «размазана» вдоль широкого диапазона значений оси X, как на рисунке 9.8-б. Это случай большой неопределённости координаты, когда различные результаты измерения более-менее равновероятны.

Ладно, отдельный разговор о неопределённостях у нас в перспективе. А также о том, от чего зависит вид этих графиков. Пока же заметим, что квантовое состояние можно рассматривать как векторную (комплексную) математическую функцию, выражающую зависимость длины и направления вектора амплитуды вероятности от координаты. А вероятность – это «обычная» действительная функция.

Конечно, всё сказанное верно и для любого другого представления. Например, если бы мы говорили об импульсном представлении квантового состояния, то мы подразумевали бы, что в квантовой реальности частица одновременно обладает всеми возможными виртуальными значениями импульса, от минус бесконечности до плюс бесконечности. В таком представлении квантовое состояние выглядело бы как функция амплитуды вероятности от импульса частицы. Кстати говоря, график этой функции выглядит аналогично: расширяющаяся, а затем сужающаяся спираль. Только координату X на рисунке 9.6 придётся заменить на «импульсную» координату P_x. В других представлениях и/или в других физических ситуациях график амплитуды вероятности будет выглядеть по-другому. Но в любом случае это будет комплексная функция от соответствующей физической величины.

Здесь, пожалуй, уместно будет разобраться, откуда берутся бесконечные группы виртуальных вариантов. Мы выяснили, что квантовое состояние – это совокупность бесконечного числа виртуальных классических состояний. Иначе, это совокупность бесконечного количества различных виртуальных значений некоторой физической величины. Но ведь не существует таких физических объектов, которые характеризовались бы только одной физической величиной. Даже простейшая частица в пространстве «обладает», как минимум, тремя координатами и тремя компонентами импульса (проекциями вектора импульса на координатные оси). Я уже не говорю о всяких там угловых и магнитных моментах, зарядах и прочих физических величинах. Но достаточно рассмотреть в совокупности всего две физические величины, чтобы увидеть бесконечные группы виртуальных вариантов. Возьмём, например координату X и импульс P_x.

Так, отставить. Сначала поиграем опять в карты. Вытаскиваем случайную карту из колоды в 36 карт. Заметим, что каждая карта характеризуется двумя «физическими величинами» – достоинством и мастью. Если наша задача - вытащить карту определённого достоинства, то у нас имеется 9 возможных результатов – от шестёрки до туза. То есть, 9 групп. Очевидно, что в каждой группе по 4 варианта, по количеству мастей. Можно сказать, что состояние колоды в представлении карточного достоинства включает 9 групп, по четыре варианта в каждой. Если же задача - вытащить карту определённой масти, то тут нас будет интересовать состояние колоды в представлении масти. Тогда наоборот, будет 4 группы, по 9 вариантов в каждой. Идея понятна? Тогда возвращаемся к нашей частице.

И в координатном, и в импульсном представлении квантового состояния частицы у нас бесконечное число вариантов. Это означает, что существует бесконечное число виртуальных классических состояний с одинаковым значением координаты X, например, X = x₁, но разными значениями импульса P_x. Это и будет бесконечная группа x₁. И наоборот, бесконечную группу виртуальных состояний с одинаковым значением импульса P_x составят состояния с различными значениями координаты X.

Короче, бесконечность числа виртуальных состояний, дающих один и тот же результат измерения, обусловлена двумя факторами: бесконечностью числа виртуальных значений любой физической величины (по-сути, это просто другая формулировка первого постулата) и тем обстоятельством, что с любым физическим объектом связано несколько (больше одной) физических величин.

Уф, эта часть получилась длинной. Но надо тут обсудить ещё вот какую вещь. Разговаривая о квантовой механике, мы пока что ни словом не упомянули собственно <кванты>. Вот теперь мы готовы к тому, чтобы поговорить о квантовании.

Выше уже говорилось о том, что форма зависимости амплитуды вероятности от значения измеряемой физической величины может быть различной. На рисунке 9.6 - это непрерывная «гладкая» функции. Но во многих физических ситуациях эта функция может быть дискретной, допустим, такой, как на следующем рисунке.

Если говорить о реальных физических примерах, то похоже выглядит квантовое состояние атома в «энергетическом представлении». Видно, что амплитуда вероятности не равна нулю только для нескольких определённых значений энергии атома. В переводе на русский язык это означает, что если мы измерим энергию атома, то мы получим какое-то одно значение из трёх: e₁, e₂, e₃. Только варианты из этих трёх групп реализуемы, все остальные - нет. Эта дискретность возможных ркзультатов измерения и означает, что энергия атома «квантуется».

Вообще, квантование - это специфическое свойство некоторых физических величин и физических ситуаций. Например, координаты свободно движущегося электрона не квантуются. При измерении координаты такой частицы может быть получен любой результат, пусть и не с одинаковой вероятностью. В этом случае говорят, что измеряемая физическая величина имеет непрерывный спектр значений. А когда речь идёт об электроне на орбите атома, координата квантуется - электрон может быть <обнаружен> только на одной из нескольких определённых орбит. В этом случае спектр значений физической величины - дискретный.

Есть величины, которые квантуются в любой физической ситуации. Таков, например, спин частицы. Почему так? Это всё причуды суперпозиции. На уровне всех виртуальных вариантов никакого квантования нет, в квантовой реальности существуют все мыслимые значения физической величины. Но на уровне РЕАЛИЗУЕМЫХ виртуальных вариантов может сохраниться только несколько возможных значений, все остальные «сожрёт» деструктивная суперпозиция.

Ну и на десерт – чуточку философии. Крайним случаем «квантованности» является такой, когда реализуемой является только одна группа вариантов. Результат измерения может быть только один. Это такая ситуация, когда квантовая физика автоматически превращается в классическую. С другой стороны, можно классическую физику рассматривать как квантовую. В таком случае мы можем считать, что классическое физическое состояние – это бесконечная группа ОДИНАКОВЫХ виртуальных вариантов.

Впрочем, и квантовая физика сама по себе такие однозначные ситуации не исключает. Например, такая физическая величина, как масса покоя частицы, существует в единственном варианте. Точнее, в единственной группе вариантов. Короче, измерение массы покоя всегда даёт одно и то же значение. С точностью до ошибки измерения, конечно.