Арифметичний n-мірний векторний простір

1. Вектори і х задані своїми координатами в деякому базисі. Довести, що – утворюють базис, і знайти координати вектора х в цьому базисі.

а) б)

2. Довести, що кожна з двох систем векторів є базисом і знайти координати одного і того ж вектора в цих двох базисах:

3. Чи утворюють підпростір відповідного векторного простору наступні сукупності векторів:

а) всі вектори площини, кожен з яких лежить на одній з осей координат ОХ і ОУ;

б) всі вектори тривимірного простору, кінці яких не лежать на одній прямій;

в) всі вектори, які є лінійними комбінаціями даних векторів ;

г) всі n -мірні вектори виду , де .

4. Знайти розмірність і базис лінійного підпростору, який натягнуто на наступну систему векторів:

а) б) в) г)

5. Довести, що вектори простору квадратних матриць 2-го порядку утворюють базис і знайти координати вектора в цьому базисі.

6. Знайти координати многочлена в базисі , довівши попередньо, що множина многочленів дійсно утворює базис.

7. Знайти , при яких є лінійною комбінацією системи векторів :

а) б) в)

8. Знайти який-небудь базис системи векторів

і виразити довільний вектор, що не ввійшов до базису, через базисні вектори.

9. Знайти матрицю переходу від базису до базису і координати вектора в базисі використовуючи матрицю переходу, якщо

10. В дійсному просторі многочленів степеня знайти матрицю переходу від базису до базису і, використовуючи знайдену матрицю, знайти координати многочлена в базисі .

11. Чи є матриця матрицею переходу від базиса

до нового базиса? Якщо так, то знайдіть новий базис і координати вектора в цьому базисі.