![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Уравнения прямой в пространстве ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
В пространственной аналитической геометрии основным способом задания линии является её представление в виде пересечения двух поверхностей. Пусть имеются две поверхности, определяемые соответственно уравнениями F(x,y,z) = 0, Ф (x,y,z) = 0. Тогда линия их пересечения состоит из таких точек М(x,y,z), координаты которых удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. Определение. Пусть дана система Линией L, определяемой этой системой, называется совокупность всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют данной системе. Наряду с указанным выше способом задания линии как пересечения двух поверхностей часто используют ещё один задания линии – параметрический. Зададим три произвольные функции
где параметр t (аргумент) пробегает множество Т, называют параметрически заданной линией, а сами формулы (1) называют параметрическими уравнениями этой линии. Параметрические уравнения прямой..
Положение прямой в пространстве можно задавать различными способами. Например, можно указать: 1) 2 точки прямой; 2) 2 плоскости, пересекающиеся по этой прямой; 3) точку на прямой и вектор, параллельный этой прямой, 4) и т.д.. Условимся называть направляющим вектором прямой любой вектор, параллельный этой прямой. Пусть относительно прямоугольной декартовой системы координат заданы точка М0 (х0,у0, z0) и вектор Составим уравнение прямой, проходящей через точку М0 с направляющим вектором Точка М (х,у, z) принадлежит прямой l тогда и только тогда, если векторы Последнее равенство в координатах перепишется в виде: х – х0 = t ∙ p,у – у0 = t ∙ q; z – z0 = t ∙ r или
х = х0 + t ∙ p; у = у0 + t ∙ q; z – z0 + t ∙ r. (2) Соотношения (2) являются, т.о., параметрическими уравнениями прямой. Если параметр t меняется от - ∞ до +∞,точка М(х,у, z) пробегает всю прямую. Пример 1. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М0(-1,2,5) параллельно вектору Пример 2. Найти расстояние от точки Р(1,1,1) до прямой l, заданной параметрическими уравнениями Чтобы найти расстояние от точки Р до прямой l, необходимо на прямой найти такую точку Q(х,у, z), чтобы вектор
Итак, значение параметра t, отвечающее точке Q, найдено. Следовательно. Для координат точки Q имеем значения: Искомое расстояние от точки Р до прямой l:
Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой выражают пропорциональность между числами: х – х0,у – у0, z – z0(координатами вектора
Уравнения (3) называют каноническими уравнениями прямой. Следует понимать, что запись (4) означает систему двух уравнений Каждое из уравнений представляет собой уравнение первой степени, т.е. уравнение плоскости. Т.о., канонические уравнения определяют прямую как линию пересечения двух плоскостей. Строго говоря, запись уравнений прямой в форме (3) имеет смысл лишь в том случае, когда все три числа p,q,r отличны от нуля. Тем не менее уравнения (3) используют и в том случае, когда одно или даже два из этих чисел равны нулю. Например, если p = 0, то пишут
Установим, как следует понимать эту запись. Как уже отмечалось, уравнения (3) выражают коллинеарность двух векторов: Если p = 0, q = 0, то уравнения (3) записывают в виде
понимая под этой записью систему уравнений
Пример 1. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точки М1(1,0,-1) и М2(-2,1,2). За направляющий вектор прямой примем вектор
Пример 2. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку (1,0,2) параллельно оси ОУ. За направляющий вектор можно принять орт
Смысл этих уравнений заключается в системе x = 1, z = 2 (y - любое).
Общие уравнения прямой. Нахождение вектора, перпендикулярного двум данным вектора. Этот пункт вспомогательный. Укажем способ, который позволяет для каждых двух векторов Введём в пространстве прямоугольную декартову систему координат. Пусть относительно этой системы векторы Теорема. Вектор
перпендикулярен каждому из векторов Замечание. Выражения (*) для координат вектора
Если теперь из таблицы вычеркнуть поочерёдно первый, второй и третий столбцы, то получим три квадратные матрицы, определители которых и служат координатами вектора Чтобы установить перпендикулярность векторов Общие уравнения прямой. Две непараллельные плоскости определяют прямую – линию их пересечения. Следовательно, система уравнений
определяет прямую в пространстве, если только векторы Уравнения (1) называют общими уравнениями прямой. От общих уравнений прямой можно перейти к каноническим уравнениям прямой. Для этого необходимо найти направляющий вектор прямой и какую-нибудь точку, расположенную на этой прямой. Покажем, что в качестве направляющего вектора можно взять вектор
Действительно, обозначим первую из плоскостей через α, а вторую – через β. Вектор Покажем теперь, как найти координаты точки, через которую проходит прямая. Т.к.
и, положив z равным какому-нибудь числу z1 (например, 0), найдём из системы значения x и y:
Пример. Написать канонические уравнения прямой Находим сначала направляющий вектор прямой
Полагая в уравнениях прямой z= 0 и решая получившуюся систему
находим
Взаимное расположение двух прямых.
Пусть прямые l 1 и l 2 относительно прямоугольной декартовой системы координат заданы своими каноническими уравнениями Возможны два случая: 1) прямые l 1 и l 2 лежат в одной плоскости; 2) прямые l 1 и l 2 не лежат в одной плоскости, т.е. скрещиваются. Выясним, когда имеет место случай 1. Для этого рассмотрим три вектора:
Отсюда же сразу следует и условие скрещивания прямых: прямые скрещиваются в том и только в том случае, когда
l 2
М2 l 1 М1
Если прямые принадлежат одной плоскости, то они либо пересекаются, либо параллельны и не совпадают, либо совпадают. Случай совпадения прямых характеризуется тем, что все три вектора Пример. Выяснить взаимное расположение прямых В данном случае поэтому прямые лежат в одной плоскости. Векторы Прямые пересекаются, поэтому система обязательно должна быть совместна. Решая её, находим: t =1. Следовательно. Координаты точки пересечения:
Угол между прямыми.
l 1
l 2
Пусть Если прямые перпендикулярны, то cos Если прямые параллельны, то векторы
Взаимное расположение прямой и плоскости. Возможны следующие случаи взаимного расположения прямой l и плоскости α в пространстве: 1) прямая l пересекается с плоскостью α, т.е. имеет с ней единственную общую точку; 2) прямая l параллельна плоскостью α, но не лежит в α; в этом случае l и α общих точек не имеют; 3) прямая l лежит в плоскости α.
Установим, как распознать, какой из этих случаев имеет место, если плоскость α задана общим уравнением
а прямая l - каноническими уравнениями Рассмотрим два вектора Очевидно, прямая l параллельна плоскости α в том и только в том случае, когда вектор - необходимое и достаточное условие параллельное условие параллельности прямой l с плоскостью α. Если же это условие не выполняется, т.е.
то прямая l пересекается с плоскостью α. Предположим, что прямая l параллельна плоскости α. Прямая лежит в плоскости α в том и только том случае, если точка М1(x1,y1,z1) прямой l лежит в этой плоскости. Следовательно, необходимые и достаточные условия того, что прямая лежит в плоскости α, можно записать в виде
. Пример. Рассмотрим прямую и три плоскости Прямая l пересекается с плоскостью α, т.к.
Угол прямой с плоскостью.
Углом θ между прямой и плоскостью называют угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Угол θ заключён в пределах от 0 до 90°. Пусть плоскость задана уравнением
а прямая – каноническими уравнениями Вектор Обозначим через φ угол между векторами Пример. Найти угол между прямой и плоскостью Найдём сначала направляющий вектор прямой: Date: 2015-04-23; view: 698; Нарушение авторских прав |