![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать неотразимый комплимент
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Плоскость в пространствеПусть дано некоторое уравнение с тремя переменными x,y,z: F(x,y,z) = 0. Поверхностью, определяемой этим уравнением, называют множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Плоскость в пространстве может быть задана различными способами. Например, можно задать: 1) точку М0, через которую должна проходить плоскость, и два неколлинеарных вектора 2) точку М0, через которую должна проходить плоскость, и ненулевой вектор 3) три точки М1, М2, М3, не лежащие на одной прямой, через которые должна проходить плоскость. Возможны и другие способы задания плоскости. Введём в пространстве прямоугольную декартову систему координат. Пусть относительно этой системы заданы точка М0 (х0,у0, z0) и вектор Обозначим рассматриваемую плоскость через Это и есть уравнение плоскости Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (1,2, -3) перпендикулярно вектору или Теорема. В прямоугольных декартовых координатах любая плоскость определяется алгебраическим уравнением первой степени вида
причём хотя бы один из коэффициентов А,В,С отличен от нуля. Обратно: любое уравнение первой степени, где хотя бы один из коэффициентов А,В,С отличен от нуля, определяет некоторую плоскость. Уравнение вида (5), где хотя бы один из коэффициентов А,В,С отличен от нуля, называют общим уравнением плоскости. Заметим, что любой вектор Обратим особое внимание на следующий факт: если плоскость задана уравнением Взаимное расположение двух плоскостей. Пусть каждая из двух плоскостей задана своим общим уравнением:
Возможны три случая: 1) плоскости совпадают; 2) плоскости параллельны, но не совпадают; 3) плоскости не параллельны, т.е. пересекаются по прямой. Как по уравнениям плоскостей определить, какой из этих случаев имеет место? Случай 3) распознаётся легко: для непараллельности плоскостей необходимо и достаточно, чтобы были не параллельны их нормальные векторы Для случаев 1 и 2общим является то, что векторы
Если при этом плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то уравнения имеют общее решение х0,у0, z0. Подставляя эти значения координат в оба уравнения, получаем два арифметических тождества. Умножая первое из них на
Итак, случай 1 характеризуется существованием такого числа Пример. Плоскости Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум данным векторам. Пусть относительно прямоугольной декартовой системы координат заданы точка М0(x0,y0,z0) и два неколлинеарных вектора Будем считать, что векторы
М0
Обозначим рассматриваемую плоскость через
Условием компланарности трёх векторов является равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов:
(1) – уравнение плоскости, проходящей через точку М0 и параллельной векторам Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0(2,2,1) и параллельной векторам
Раскрывая определитель, получаем искомое уравнение: Пример 2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М0(1,-1,-4) и перпендикулярной каждой из плоскостей Обозначим искомую плоскость Раскрывая определитель, получаем искомое уравнение:
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Даны три точки М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), М3(x3,y3,z3), не лежащие на одной прямой. Составим уравнение плоскости, проходящей через эти точки. Рассмотрим векторы
Итак, (2) – уравнение плоскости, проходящей через три данные точки М1, М2, М3. Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1(1,-2,-1), М2(2,3,0), М3(6,2,-2). Раскрывая определитель, получим: Уравнение плоскости в отрезках. Если плоскость пересекает все три координатные оси, но не проходит через начало координат, то её уравнение удобно записывать в специальной форме, называемой “уравнением в отрезках”. Зададим на каждой из координатных осей точку, отличную от начала координат, а именно: точку А(а,0,0), где а В качестве такого уравнения можно взять
Действительно, уравнение (3) является уравнением первой степени и поэтому определяет плоскость. Подставляя координаты точки А, убеждаемся, что плоскость проходит через эту точку: Аналогично можно показать, что плоскость проходит через точки В и С. Уравнение (3) называют уравнением плоскости в отрезках, поскольку оно определяет плоскость, отсекающую на координатных осях отрезки a,b,c (соответственно). Уравнение в отрезках в ряде случаев более удобно, чем другие формы уравнения плоскости; кроме того, оно даёт наглядное представление о положении плоскости в пространстве.
Z
c
a
X К виду (3) может быть приведено любое общее уравнение плоскости
т.е. уравнение в отрезках, где Примеры. 1. Привести к уравнению в отрезках следующее уравнение плоскости: Преобразуя уравнение указанным выше способом, получим 2. Найти объём пирамиды, ограниченной плоскостью, заданной в предыдущем примере, а также координатными плоскостями. За основание пирамиды можно принять треугольник с вершинами О(0,0,0), А(3,0,0), В(0,-4,0) в плоскости XOY;высотой пирамиды является отрезок ОС, где С(0,0,6). По формуле объёма пирамиды имеем Расстояние от точки до плоскости. Пусть в пространстве даны плоскость
и точка М0(x0,y0,z0). Вычислим расстояние d от точки М0 до плоскости
Примеры. 1. Найти расстояние от точки М0(1,1,1) до плоскости 2.Найти расстояние между параллельными плоскостями Проще всего взять какую-либо точку М0 в одной из данных плоскостей и найти расстояние от неё до другой плоскости. Возьмём, например, точку М0(1,1,1), принадлежащую второй плоскости. Расстояние от М0 до первой плоскости, согласно примеру 1, равно 6.
Угол между плоскостями. Углом между двумя плоскостями Нормальный вектор к данной плоскости может иметь любое из двух противоположных друг другу направлений, поэтому угол между плоскостями определён неоднозначно; для него возможны два значения:
где Если плоскости
Следствие. Для перпендикулярности плоскостей необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Действительно, если плоскости
Полупространства. Рассмотрим в пространстве плоскость Одно из двух полупространств, на которые плоскость разбивает всё пространство, состоит из точек М(x,y,z), для которых
другое – из точек N(x,y,z), для которых
Примеры. 1. Дана плоскость Подставляя координаты точек в уравнение плоскости, получим
2. Плоскость задана уравнением Подставляя координаты точек P и Q в уравнение плоскости, получаем два числа:1+1-4+1=-1,1+2-4+1=1; знаки их различны. Следовательно, точки P и Q принадлежат разным полупространствам относительно плоскости
Date: 2015-04-23; view: 1001; Нарушение авторских прав |