Параллельность прямой и плоскости

Определение:

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема:

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельны какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Доказательство:

Рассмотрим плоскость µ и две параллельные прямые а и в, расположенные так, что прямая в лежит в плоскости µ, а прямая а не лежит в этой плоскости. Докажем что а||µ.

ЧТД

Утверждение №1:

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Доказательство:

Пусть через данную прямую а, параллельную плоскости µ, проходит плоскость η, пересекающая плоскость µ по прямой в. Докажем, что в||а.

ЧТД

Утверждение №2:

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Доказательство:

В самом деле, пусть а и в – параллельные прямые, причем прямая а параллельна плоскости µ. Тогда прямая а не пересекает плоскость µ, и, следовательно, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая в также не пересекает плоскость µ. Поэтому прямая в либо параллельна плоскости µ, либо лежит в этой плоскости

ЧТД

Угол между прямой и плоскостью