Вероятность и средние значения величин

При описании систем, содержащих большое число частиц нет ни возможности, ни необходимости рассматривать значения физических величин, относящихся к каждой из частиц в отдельности. Использование их средних значений позволяет получить вполне точные законы, например, уравнение для давления идеального газа p= 1/3 m₀n<v²>, где <v²> среднее значение квадрата скорости молекулы.

Средние значения физических величин тесно связаны с понятием вероятности. Из-за непрерывных беспорядочных движений частиц всякая молекулярная система в течении достаточно большого промежутка времени проходит через бесконечный ряд состояний, сменяющих друг друга сложным образом из-за многочисленных взаимодействий. В каждом из состояний система за длительное время побывает не один, а много раз.

Пусть требуется измерить некоторую физическую величину, например, скорость молекулы. Предположим, что система состоит из N молекул (N – велико), которые имеют дискретные значения скорости. При этом для N₁ молекул из общего числа N измеренная величина скорости равна v₁, для N₂ – v₂ и т.д. По определению среднего арифметического

<v> = (N₁v₁+ N₂v₂+…)/N = (Σ N_iv_i)/N.

Величина N_i/N – относительная частота появления результата измерения скорости v_i (доля молекул из общего числа, имеющих скорость v_i), а при стремлении N→∞ - это есть вероятность появления результата v_i, поскольку, по определению:

Р_i = lim_N→∞ N_i/N≈ N_i/N. Поскольку ΣN_i = N, то ΣР_i = ΣN_i/N = 1

т.е. сумма вероятностей всех любых результатов измерений равна единице, что очевидно. Тогда среднее арифметическое значение скорости:

<v> = ΣN_iv_i/N = ΣР_iv_i – математическое ожидание.

Отсюда следует, что среднее значение величины скорости равно сумме произведений отдельных ее значений на соответствующие вероятности.

Если величина v_i принимает непрерывный ряд значений, то при вычислении среднего значения суммирование заменяется интегрированием

<v> = ∫(dN_v/N)v = 1/N ∫vdN_v

где dN_v/N – доля молекул из общего числа N, имеющих скорости, лежащие в интервале от v до v+dv. Для непрерывной случайной величины v с плотностью распределения вероятности f(v) ее среднее значение (математическое ожидание) равно <v> = ∫vf(v)dv. f(v)dv = dN_v/N. По аналогии среднее значение квадрата скорости: <v²> = ∫ v²f(v)dv.