Дидактические материалы по геометрии

1. При каком значении параметра t точка M (2,t) принадлежит прямой

2. При каком значении параметра длины векторов
равны?

3. Найти угол (в градусах) между прямыми

4. При каком значении параметра k прямая перпендикулярна прямой

5. При каком значении параметра t прямые 2х-5у+8=0 и tх-15у+3=0 параллельны?

6. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки Р(2,-8) и Q(-1,7).

7. Найти расстояние точки Р (4,-2) до прямой 8x-15y-27=0

8. Найти угловой коэффициент прямых: , .

9. Найти единичный вектор, совпадающий с направлением вектора .

10. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через начала координат и точку пересечения прямых и .

11. Найти квадрат расстояния от точки пересечения прямых и до начала координат.

12. Найти координаты вершины D параллелограмма ABCD, если известны координаты трех других его вершин: A(2,3,2), B(0,2,4), C(4,1,0).

13. Найти координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма, если известны координаты трех его вершин: A(2,3,2), B(0,2,4), C(4,1,0).

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2,3,5) перпендикулярно вектору

15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2,3,-1) параллельно плоскости

16. При каком значении параметра k плоскость перпендикулярна плоскости

17. При каком значении параметра k плоскость параллельна плоскости

18.

19. Найти скалярное произведение векторов: = (1,2,3), = (2,-1,4).

20. Найти скалярное произведение векторов: и , при , и угол между ними равен .

21. Найти длину вектора , если и угол между ними равен .

22. Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(-4,-4,4), В(-3,2,2), С(2,5,1), D(3,-2,2) взаимно перпендикулярны.

23. Неколлинеарные векторы а и b имеют одинаковую длину. Найти скалярное произведение .

24. Написать уравнения плоскости, проходящей через точку

25. М(-1,2,3) перпендикулярно вектору . (О- начало координат)

26. Найти единичный вектор , параллельный вектору .

27. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2,3,4) параллельно вектору а = (3,2,0).

28. Найти угол между векторами и

29. Даны точки A (a, 0,0), B (0,0,2a) и C (a, 0, a). Построить векторы и и найти угол между ними.

30. Треугольник ABC задан его вершинами A (3,0,1), B (-1,4,2) и C (5,2,0) Найти длину медианы АМ.

31. Даны три последовательные вершины параллелограмма: A (-3,-2,0), B (3,-3,1) и C (5,0,2). Найти его четвертую вершину D.

32. Даны точки A (-3,-2,0), B (3,-3,1), C (5,2,0) и D (2,2,0). Построить векторы и . Найти скалярное произведение

33. Даны точки A (2,2,0) и B (0,-2,5). Построить вектор и определить его направляющие косинусы.

34. Найти расстояние от точки М(-1,1) до прямой 4х-3у+6 =0.

35. Даны точки M (0,-1,3) и N (1,3,5). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М, перпендикулярно вектору .

36. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2,3,5) и параллельной плоскости .

37. Проверить, что треугольник с вершинами А (5,-4,0), B (3,2,0), C (2,-5,0) – прямоугольный.

38. Определить косинус угла между векторами и .

39. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

А (2,1,3) перпендикулярно вектору а = (3,1,2).

40. Найти расстояние от точки М(-1,1,3) до прямой 4х-3у+5z+6 =0.

41. Найти угол между плоскостями:

42. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А (2,3,4) параллельно вектору а = (3,2,0).

43. Составить уравнение прямой, проходящей через точки

44. А (3,2,1), В (0,2,5)

45. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(-1,2,3),В(0,2,5).

46. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(1,2,3), перпендикулярно вектору .

47. Составить уравнение прямой, проходящей через точки

48. А (-1,2,3), В (2,6,-2).

49. Найти угол между векторами = (1,2,3) и = (2,-1,4).

50. 26. Вычислить скалярное произведение , если , где и - единичные взаимно перпендикулярные векторы.

51. Вычислить скалярное произведение , если , где и - единичные взаимно перпендикулярные векторы.

52. Вычислить скалярное произведение , если , где и , - единичные взаимно перпендикулярные векторы.

53. Даны точки и . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к вектору .

54. Через точку М (-1,2,3) поведена плоскость, перпендикулярная к ОМ. Написать ее уравнение.

55. Через точку М(1,1,1) повести плоскость параллельную плоскости

56. Даны точки и . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к вектору .

57. Найти единичный вектор , параллельный вектору .

58. Абсцисса точки равна . При каких значениях . и точка лежит на прямой

59. Ордината точки равна . При каких значениях . и точка лежит на прямой

60. Даны две точки и . Через точку В провести плоскость, перпендикулярную к отрезку АВ.

61. Найти угол между плоскостями:

62. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

M(-2,7,3), параллельно плоскости .

63. Через точку (2,-5,3) провести прямую параллельную прямой

64. Через точку (4,-5,3) провести прямую параллельную прямой

65. При каком значении параметра k прямая перпендикулярна плоскости

66. При каком значении параметра k прямая параллельна плоскости

67. Аппликата точки равна . При каких значениях и . точка лежит на прямой

68. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и через точку

69. Составить уравнение ребер тетраэдра с вершинами в точках

70. Через точку М (1,1,1) повести плоскость параллельную плоскости .

71. Найти площадь поверхности куба, если площадь диагонального сечения куба равна .

72. Найдите объем правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если стороны оснований равны 5 см и 1см, а боковое ребро равно 3см.

73. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, диагональ основания которой равна см, апофема пирамиды равна 5 см.

74. Даны векторы (3; -2; -1), (1; 1; 2), (-3; 2; 4). Найдите координаты вектора = 2 + 3 - .

75. Найдите | |, если А (2; -3; -1), С (3; -1; -3).

76. Даны векторы (4; -3; 0), (-6; 0; 8). Найдите .

77. Даны векторы (4; -2; 0), (-6; 0; 1). Найдите .

78. При каком значении п векторы (3; 1; 5) и (-6; -2; n) коллинеарны?

79. При каком значении р векторы (3; р; -1) и (p; -2; 5) взаимно перпендикулярны?

80. Найдите скалярное произведение векторов и , если =3, = 8, а угол между векторами равен 120°.

81. Точки А(1;3;-1), В(2;1;2), С(1;-2;1) - вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты вер­шины D.

82. Найдите угол между векторами и +с (в граду­сах), если известно, что (2;2), (2;4) и (-2;-6).

83. Единичные векторы и образуют угол 120 . Найдите значение выражения ( + )².

84. Найдите угол (в градусах) между векторами и , если =10, | | = 4, | | = 5.

85. Найдите угол (в градусах) между векторами (-1; 2) и (3; -1).

86. Сколько диагоналей можно провести в 5-угольной призме?

87. Найдите сумму плоских углов 6-угольной призмы.

88. Найдите сумму всех двугранных углов 3-угольной призмы.

89. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 4 и наклонена к плоскости основания под уг­лом 45°.

Найдите площадь диагонального сечения.

90. Ребро куба равно a. Найдите расстояние от диагонали куба к боковому ребру, которое не пересека­ет ее.

91. Найдите площадь поверхности куба, если площадь диагонального сечения куба равна .

92. Найдите объем куба, если площадь полной поверх­ности куба равна 24.

93. Найдите объем наклонной треугольной призмы, если площадь боковой грани равна 10, а расстояние от этой грани до противоположного ребра равно 4.

94. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна 2 см и образует с боковым ребром угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

95. Боковое ребро наклонной треугольной призмы рав­но 6 см, две боковые грани ее взаимно перпендику­лярны и имеют площади 24 см² и 30 см². Найдите объем призмы.

96. Сторона основания правильной шестиугольной при­змы равна 2, боковое ребро равно . Найдите объ­ем призмы.

97. Найдите высоту призмы, если основание прямой призмы — прямоугольный треугольник, диагонали боковых граней призмы равны 4 см, 7 см и 8 см.

98. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 6 см, а боковая по­верхность вдвое больше площади основания.

99. Найдите высоту правильной четырехугольной усе­ченной пирамиды, если стороны ее основания рав­ны 6 см и 3 см, а боковая поверхность равновелика сумме оснований.

100. Найдите объем (V) правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если боковое ребро равно 3 см, стороны оснований равны 5 см и 1 см.

101. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если плоский угол при вер­шине равен 90°, а радиус окружности описанной вокруг ее боковой грани, равен 6.

102. Боковые ребра треугольной пирамиды равны 3 см, 4 см и 5 см и взаимно перпендикулярны. Найдите объем пирамиды.

103. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 3, а боковое ребро равно 2.

104. Основание пирамиды — равнобедренный треуголь­ник, у которого основание 6 см, высота 9 см, боко­вые ребра пирамиды равны между собой и каждое ребро равно 13 см. Найдите высоту пирамиды.

105. Апофема правильной треугольной пирамиды равна и составляет половину стороны основания. Найдите площадь сечения, которое проходит через две апофемы.

106. Найдите высоту правильной треугольной усеченной пирамиды, если стороны оснований равны 8 см и о см, а угол наклона бокового ребра к большему основанию равен 60°.

107. Основание пирамиды — равнобедренный треуголь­ник, основание которого равно 12 см, боковая сторо­на — 10 см. Боковые грани образуют с основанием двугранные углы в 45°. Найдите высоту пирамиды.

108. В пирамиде сечение, параллельное основанию, де­лит высоту в отношении 2: 3 (считая от вершины). Найдите площадь сечения, если известно, что она меньше площади основания на 84 см².

109. Найдите объем правильной четырехугольной пира­миды, диагональ основания которой равна см, апофема пирамиды равна 5 см.