Определение момента инерции твердых тел методом трифилярного подвеса

Введение

В природе и технике весьма распространенным является вращательное движение, которое описывается в физике основным законом вращательного движения. Этот закон в случае неподвижной оси вращения можно рассматривать как аналог II закона Ньютона, в котором роль меры инертности играет момент инерции абсолютно твердого тела. Расчет момента инерции твердого тела относительно произвольной оси является в общем случае сложной математической задачей. В данной лабораторной работе приводятся методы решения таких задач экспериментальным путем и расчетным относительно главных (свободных) осей вращения твердых тел. Расчеты приведены в Приложении к работе.

Цель работы. Экспериментальное определение момента инерции диска, цилиндра, кольца и параллелепипеда относительно главных (свободных) осей инерции этих твердых тел; исследование зависимости момента инерции от распределения массы тела относительно оси вращения.

Практическая ценность. В работе изучается используемый в практике метод измерения момента инерции твердых тел. В процессе работы студенты получают навыки измерения момента инерции твердых тел методом крутильных колебаний трифилярного подвеса и умение рассчитывать момент инерции относительно осей симметрии тела.

1. Теоретическая часть

Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться около оси . Разобьем его на большое число (n) малых объемов с массами и будем рассматривать каждый такой элемент в виде материальной точки. Через обозначим соответствующее расстояние от материальной точки до оси (рис.1). Величина называется моментом инерции данной материальной точки относительно оси вращения . Момент инерции всего тела относительно будет равен сумме моментов инерции всех материальных точек, на которые мы разбили твердое тело:

.

Следует заметить, что величина момента инерции твердого тела зависит не только от величины массы тела, но также от распределения массы тела относительно оси вращения. Если вещество в теле распределено непрерывно, то сумма заменяется интегралом и момент инерции тела относительно запишется:

, (1)

где - расстояние от элементарной массы dm до оси вращения.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс , то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера:

, (2)

где - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс; m – масса тела, а – расстояние между осями.

2. Экспериментальная часть

2.1. Выбор методики эксперимента:

В данной работе момент инерции тела определяется при помощи трифилярного подвеса (рис. 2). Трифилярный подвес представляет собой круглую платформу, подвешенную на трех симметрично расположенных проволоках, укрепленных у краев платформы. Наверху эти проволоки также симметрично прикреплены к трем точкам треноги, расположенным по окружности меньшего радиуса. Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, перпендикулярной к ее плоскости и проходящей через ее середину: центр тяжести платформы при этом перемещается по оси вращения. Период колебаний определяется моментом инерции платформы. Он будет другим, если платформу нагрузить каким - либо телом. Этим и пользуются в настоящей работе.

Если платформа массой m, вращаясь в одном направлении, поднялась на высоту h, то потенциальная энергия в крайнем верхнем положении

,

где g – ускорение свободного падения тела.

Вращаясь в другом направлении, платформа придет в положение равновесия с кинетической энергией, равной

,

где J – момент инерции платформы, - угловая скорость в момент достижения ею положения равновесия.

Пренебрегая работой сил трения, на основании закона сохранения механической энергии имеем

. (3)

Считая, что платформа совершает гармонические колебания, можно написать зависимость угла поворота платформы от времени:

,

где α – мгновенное значение угла поворота платформы; - амплитудное значение угла поворота, Т – период полного колебания; t - время.

Угловая скорость ω является первой производной от угла поворота α по времени:

.

В момент прохождения через положение равновесия абсолютное значение угловой скорости будет максимальным:

. (4)

Подставляя это значение в уравнение (3), получим

. (5)

Учитывая, что при малых углах поворота

,

где R – расстояние от оси платформы до точек закрепления проволок на платформе; r – расстояние от оси платформы до точек закрепления проволоки на треноге; – длина каждой проволоки подвеса, окончательно получаем

. (6)

По этой формуле может быть определен момент инерции платформы и тела, положенного на нее, так как все величины в правой части могут быть непосредственно измерены. В случае нагруженной платформы массу m берут равной сумме масс платформы и тела. Вычисленный момент инерции системы складывается из момента инерции пустой платформы и тела:

, (7)

где - момент инерции платформы; - момент инерции тела.

Из соотношения (7) определяется момент инерции тела

. (8)

2.2. Работа на экспериментальной установке

Платформа в нерабочем положении арретирована, т.е. покоится на столике, который можно опускать и поднимать, закрепляя на нужной высоте с помощью специального винта на штативе. Вращательный импульс, необходимый для начала крутильных колебаний, сообщается платформе путем поворота треноги вокруг ее оси с помощью шнура, приводящего в движение рычажок, связанный с треногой. Этим достигается почти полное отсутствие других, некрутильных колебаний, затрудняющих измерения.

2.3. Задание 1. Определение момента инерции ненагруженной платформы

1. Разарретировав платформу (опустив столик под платформой), плавным натяжением шнура сообщают ей вращательный импульс, в результате чего платформа придет в колебательное движение.

2. Секундомером измеряют время t двадцати полных колебаний (n = 20). Измерения повторяют 3 раза.

3. Усредняют результат измерения времени:

(9)

и находят период колебаний ненагруженной платформы по формуле

. (10)

4. По формуле (6) рассчитывают момент инерции пустой платформы .

2.4. Задание 2. Определение моментов инерции конкретных тел опытным путем.

1. Нагружают платформу таким образом, чтобы конкретное тело (диск, цилиндр, кольцо или параллелепипед выбирается по указанию преподавателя) вписалось в соответствующие контуры, изображенные на платформе трифилярного подвеса.

2. Нагруженную платформу разарретируют и измеряют время 20 полных колебаний. Измерение повторяют 3 раза.

3. Аналогично из соотношений (9,10) определяют средний период колебаний нагруженной платформы.

4. Рассчитывают момент инерции нагруженной платформы по формуле (6).

5. По формуле (8) находят момент инерции конкретного тела .

2.5. Задание 3. Определение моментов инерции конкретных тел теоретическим путем.

1. Измеряют штангенциркулем все необходимые размеры предложенных тел (диска, цилиндра, кольца, параллелепипеда, пустой платформы).

2. Моменты инерции конкретного тела и пустой платформы теоретически рассчитывают по формулам, указанным в Приложении.

3. Результаты расчетов для анализа сводят в следующую таблицу.

Конкретное тело
пустая платформа
диск
кольцо
параллелепипед

Измерения и расчет момента инерции параллелепипеда производится в трех плоскостях.

Последняя графа дает возможность оценить относительное расхождение теоретических и экспериментальных результатов. Проанализируйте и объясните полученные результаты.

Контрольные вопросы

1. Что называется моментом инерции абсолютно твердого тела относительно оси вращения? От чего он зависит? Теорема Штейнера (на примере решения задачи 3-2).

2. Как теоретически подсчитать момент инерции тела (параллелепипеда, цилиндра, стержня, шара, конуса) относительно главных осей?

3. Угловая скорость и угловое ускорение. Направление и модуль каждой из этих величин (на примере данной работы).

4. Основной закон динамики вращательного движения (в векторном виде) для твердого тела, ось вращения которого закреплена в подшипнике. Как он запишется для крутильных колебаний платформы?

5. Направление углового ускорения и угловой скорости при подъеме и спуске платформы?

6. В чем сущность закона сохранения механической энергии? При каких условиях справедлив закон сохранения механической энергии? В какой форме он записывается в данной работе?

7. Метод определения момента инерции тела, помещенного на платформу.