Прилади й елементи

Логічний перетворювач
Генератор слів
Вольтметр
Логічні пробники
Джерело напруги + 5 В
Джерело сигналу ”логічна одиниця”
Двопозиційні перемикачі
Двовходові елементи І, І-НІ, АБО, АБО-НІ
Мікросхеми серії 74

Короткі відомості з теорії

1. Аксіоми алгебри логіки.

Змінні, розглянуті в алгебрі логіки, можуть приймати тільки два значення - 0 або 1. В алгебрі логіки визначені: відношення еквівалентності (позначається знаком =) і операції: додавання (диз'юнкції), що позначається знаком Ú, множення (кон’юнкції), що позначається знаком & або крапкою, і заперечення (або інверсії), що позначається надкресленням або апострофом '. Алгебра логіки визначається наступною системою аксіом:

2. Логічні вирази.

Запис логічних виразів звичайно здійснюють у кон’юнктивній або диз'юнктивній нормальних формах. У диз'юнктивній формі логічні вирази записуються як логічна сума логічних добутків, у кон’юнктивній формі - як логічний добуток логічних сум. Порядок дій такий же, як і в звичайних алгебраїчних виразах.

Логічні вирази зв'язують значення логічної функції із значеннями логічних змінних.

3. Логічні тотожності.

При перетвореннях логічних виразів використовуються логічні тотожності:

4. Логічні функції.

Будь-який логічний вираз, складений з n змінних х_n, х_n-1 ... x₁ за допомогою кінцевого числа операцій алгебри логіки, можна розглядати як деяку функцію n змінних. Таку функцію називають логічною. Відповідно до аксіом алгебри логіки функція може приймати в залежності від значення змінних значення 0 або 1. Функція n логічних змінних може бути визначена для 2ⁿ значень змінним, відповідним усім можливим значенням n-розрядних двійкових чисел.

Основний інтерес представляють наступні функції двох змінних х і у:

f 1(x, y) = – логічний добуток (кон’юнкція),

f 2(x, y) = – логічне додавання (диз'юнкція),

f 3(x, y) = – логічне множення з інверсією,

f 4(x, y) = – логічне додавання з інверсією,

f 5(x, y) = – додавання за модулем 2,

f 6(x, y) = – рівнозначність.

5. Логічні схеми.

Фізичний пристрій, що реалізує одну з операцій алгебри логіки або найпростіша логічна функція, називається логічним елементом. Схема, складена з кінцевого числа логічних елементів за визначеними правилами, називається логічною схемою.

Основним логічним функціям відповідають виконуючі їх схемні елементи.

6. Таблиця істинності.

Оскільки область визначення будь-якої функції n змінних кінцева (2ⁿ значень), така функція може бути задана таблицею значень f(v_i), що вона приймає в точках v_i, де і = 0, 1... 2ⁿ-1. Такі таблиці називають таблицями істинності. У таблиці 7.1 представлені таблиці істинності, що задають зазначені вище функції.

Таблиця 7.1

i = 2x + y – число, утворене значеннями змінних.

7. Карти Карно і діаграми Вейча.

Якщо число логічних змінних не перевищує 5-6, перетворення логічних рівнянь зручно робити за допомогою карт Карно або діаграм Вейча. Ціль перетворень - одержання компактного логічного виразу (мінімізація). Мінімізацію роблять об'єднанням наборів (термів) на карті Карно. Поєднувані набори повинні мати однакові значення функції (усі 0 або всі 1).

Для наочності розглянемо приклад: нехай потрібно знайти логічні вирази для мажоритарної функції fm трьох змінних X, Y, Z, що описуються наступною таблицею істинності:

Таблиця 7.2

Складемо карту Карно. Вона являє собою щось схоже на таблицю, у якій найменування стовпців і рядків являють собою значення змінних, причому змінні розташовуються в такому порядку, щоб при переході до сусіднього стовпця або рядка змінювалося значення тільки однієї змінної. Наприклад, у рядку XY таблиці 7.3 значення змінних XY можуть бути представлені наступними послідовностями: 00, 01, 11, 10 і 00, 10, 11, 01. Таблицю заповнюють значеннями функції, що відповідають комбінаціям значень змінних. Отримана в такий спосіб таблиця виглядає, як показано нижче (таблиця 7.3).

Таблиця 7.3

На карті Карно відзначаємо групи, що складаються з 2ⁿ осередків (2, 4, 8,...) і утримуючі 1, тому що вони описуються простими логічними виразами. Три прямокутники в таблиці визначають логічні вирази XY, XZ, YZ. Кожен прямокутник, що поєднує два осередки, відповідає логічним перетворенням:

,

,

.

Компактний вираз, що описує функцію, являє собою диз'юнкцію отриманих за допомогою карт Карно логічних виразів. У результаті одержуємо вирази в диз'юнктивній формі: fm = XY v XZ vYZ.

Для реалізації функції мажоритарної логіки трьох логічних змінних необхідно реалізувати схему, що при подачі на її входи трьох сигналів формувала б на виході сигнал, рівний сигналу на більшості входів (2 з 3 або 3 з 3). Ця схема корисна для відновлення дійсного значення сигналів, що надходять на 3 входи, якщо можлива відмова на одному з входів.

Для реалізації функції на елементах 2І-НІ перетворимо отримані вирази в базис елементів І-НІ, тобто, запишемо вирази за допомогою операцій логічного множення й інверсії. Перевірити справедливість кожного з приведених виразів для fm можна прямою підстановкою значень X, Y, Z з таблиці 7.2:

Відповідна схемна реалізація приведена на мал. 7.1.

Порядок проведення експериментів

Експеримент 1. Дослідження логічної функції І.

а). Задавання рівнів логічних сигналів.

Відкрийте файл с12_01 із схемою, зображеною на мал. 7.2. У цій схемі два двопозиційних перемикачі А і В подають на входи логічної схеми І рівні 0 (контакт перемикача в нижньому положенні) або 1 (контакт перемикача у верхньому положенні). Увімкніть схему. Установіть перемикач В у нижнє положення. Вимірте вольтметром напругу на вході В і визначте за допомогою логічного пробника рівень логічного сигналу.

Установіть перемикач В у верхнє положення. Визначте рівень логічного сигналу і запишіть показання вольтметра; укажіть, який логічний сигнал формується на виході Y. Результати занесіть у розділ ”Результати експериментів”.

6). Експериментальне одержання таблиці істинності елемента І.

Подайте на входи схеми всі можливі комбінації рівнів сигналів А і В і для кожної комбінації зафіксуйте рівень вихідного сигналу Y. Заповніть таблицю істинності логічної схеми І (табл. 7.4 у розділі ”Результати експериментів”).

в). Одержання аналітичного виразу для функції.

За таблицею 7.4 складіть аналітичний вираз функції елемента І і занесіть його в розділ ”Результати експериментів”.

 

Експеримент 2. Дослідження логічної функції І-НІ.

а). Експериментальне одержання таблиці істинності логічного елемента 2І-НІ, складеного з елементів 2І та НІ.

Зберіть схему, зображену на мал. 7.3. Увімкніть схему. Подайте на входи схеми всі можливі комбінації рівнів вхідних сигналів і, спостерігаючи рівні сигналів на входах і виході за допомогою логічних пробників, заповніть таблицю істинності логічної схеми 2І-НІ (табл. 7.5 у розділі ”Результати експериментів”).

б). Експериментальне одержання таблиці істинності логічного елемента 2І-НІ.

Зберіть схему, зображену на мал. 7.4. Увімкніть схему. Подайте на входи схеми всі можливі комбінації рівнів вхідних сигналів і, спостерігаючи рівні сигналів на входах і виході за допомогою логічних пробників, заповніть таблицю істинності логічної схеми 2І-НІ (табл. 7.6 у розділі ”Результати експериментів”). Порівняєте таблиці 7.5 і 7.6 між собою.

 

Експеримент 3. Дослідження логічної функції АБО.

а). Експериментальне одержання таблиці істинності логічного елемента АБО.

Зберіть схему мал. 7.5. Увімкніть схему. Подайте на входи схеми всі можливі комбінації рівнів вхідних сигналів і, спостерігаючи рівні сигналів на входах і виході за допомогою логічних пробників, заповніть таблицю істинності логічної схеми АБО (табл. 7.7 у розділі ”Результати експериментів”).

б). Одержання аналітичного виразу для функції.

За таблицею 7.7 складіть аналітичний вираз функції і занесіть його в розділ ”Результати експериментів”.

 

Експеримент 4. Дослідження логічної функції АБО-НІ.

а). Експериментальне одержання таблиці істинності логічного елемента 2АБО-НІ, складеного з елементів 2АБО і НІ.

Зберіть схему, зображену на мал. 7.6. Увімкніть схему. Подайте на входи схеми всі можливі комбінації рівнів вхідних сигналів і, спостерігаючи рівні сигналів на входах і виході за допомогою логічних пробників, заповніть таблицю істинності логічної схеми 2АБО-НІ (табл. 7.8 у розділі ”Результати експериментів”).

б). Експериментальне одержання таблиці істинності логічного елемента 2АБО-НІ.

Зберіть схему, зображену на мал. 7.7. Увімкніть схему. Подайте на входи схеми всі можливі комбінації рівнів вхідних сигналів і, спостерігаючи рівні сигналів на входах і виході за допомогою логічних пробників, заповніть таблицю істинності логічної схеми 2АБО-НІ (табл. 7.9 у розділі ”Результати експериментів”). Порівняєте таблиці 7.8 і 7.9 між собою.

 

Експеримент 5. Дослідження логічних схем за допомогою генератора слів.

а). Відомості про досліджувану мікросхему.

Відкрийте файл с12_02 із схемою, зображеною на мал. 7.8. Увімкніть схему. Укажіть, до яких виводів мікросхеми 7400 підключається джерело живлення, скільки елементів 2І-НІ містить мікросхема, скільки елементів використовується в даному експерименті і як позначені на схемі використовувані входи і виходи. Заповніть таблицю зведень про мікросхему (табл. 7.10 у розділі ”Результати експериментів”).

б). Експериментальне одержання таблиці істинності логічного елемента 2І-НІ.

Запрограмуйте генератор слів так, щоб на виході генератора одержувати послідовно наступні комбінації: 00, 01, 10, 11. Переведіть генератор у режим покрокової роботи натисканням кнопки ”Step” на збільшеному зображенні генератора. Кожне натискання кнопки ”Step” викликає перехід до чергового слова заданої послідовності, що подається на вихід генератора. Послідовно подаючи на мікросхему слова з заданої послідовності, заповніть таблицю істинності елемента 2І-НІ (табл. 7.11 у розділі ”Результати експериментів”).

! Вказівка: значення розрядів поточного слова на виході генератора відображаються в круглих вікнах у нижній частині на панелі генератора.

 

Експеримент 6. Реалізація логічної функції 3-х змінних.

а). Синтез схеми, що реалізує функцію, задану логічним виразом.

Реалізуйте функцію на елементах 2І-НІ.

! Вказівка. Представте вирази функції через операції логічного множення і інверсії.
Зберіть у Electronics Workbench схему на елементах 2І-НІ, що відповідає отриманому виразу. Підключіть до входів схеми генератор слів, до виходу – логічний пробник. Генератор слів запрограмуйте на формування послідовності з восьми слів, що відповідають числам від 0 до 7:

0=000; 1=001; 2=010; 3=011;

4=100; 5=101; 6=110; 7=111.

У покроковому режимі, послідовно подаючи на вхід отриманої схеми всі слова послідовності, Визначте за допомогою логічного пробника рівень сигналу на виході схеми. За отриманими результатами заповніть таблицю 7.12 у розділі ”Результати експериментів”.

б). Синтез схеми, що реалізує задану функцію за допомогою логічного перетворювача.

Для одержання схеми, що реалізує функцію, описувану логічним виразом , можна скористатися логічним перетворювачем. Для цього виконайте наступні дії:

· викличте логічний перетворювач;

· введіть у нижнє вікно панелі перетворювача логічний вираз з клавіатури (операції АБО відповідає знак +, інверсія позначається апострофом);

· для реалізації схеми на елементах І-НІ натисніть клавішу А|В → NAND на панелі логічного перетворювача.

Логічний перетворювач виводить на робоче поле схему, що реалізує функцію, яка описана введеним логічним виразом. Отримана схема приведена на мал. 7.9.

До схеми підключіть генератор слів, запрограмований на формування восьми слів, що відповідають числам від 0 до 7:

0=000; 1=001; 2=010; 3=011;

4=100; 5=101; 6=110; 7=111.

Переведіть генератор слів у покроковий режим. Увімкніть схему. Послідовно подаючи на входи схеми зазначені слова і визначаючи рівень сигналу на виході схеми логічним пробником, заповніть таблицю істинності (табл. 7.13 у розділі ”Результати експериментів”). Обчисліть проміжні значення і занесіть їх у таблицю істинності (табл. 7.13 у розділі ”Результати експериментів”). Вони визначають логічні сигнали на вході третього елемента 2І-НІ в схемі (для контролю результатів обчислення можна до його входів підключити логічні пробники).

 

Результати експериментів

Експеримент 1. Дослідження логічної функції І.

а). Задавання рівнів логічних сигналів.

Напруга на вході В (ключ В у нижньому положенні), В	Вимір
Логічний сигнал на вході В (ключ В у нижньому положенні)	Вимір
Напруга на вході В (ключ В у верхньому положенні), В	Вимір
Логічний сигнал на вході В (ключ В у верхньому положенні)	Вимір
Логічний сигнал на виході Y	Вимір

 

б). Експериментальне одержання таблиці істинності елемента І.

Таблиця 7.4

в). Одержання аналітичного виразу для функції.

Експеримент 2. Дослідження логічної функції І-НІ.

а). Елемент. 2І-НІ, складений з 2І і НІ. б). Елемент 2І-НІ.

Таблиця 7.5 Таблиця 7.6

Експеримент 3. Дослідження логічної функції АБО.

а). Експериментальне одержання таблиці істинності логічного елемента АБО.

Таблиця 7.7

в). Одержання аналітичного виразу для функції.

Експеримент 4. Дослідження логічної функції ИЛИ-НІ.

а). Елемент АБО-НІ, складений з АБО і НІ. б). Елемент 2І-НІ.

Таблиця 7.8 Таблиця 7.9

Експеримент 5. Дослідження логічних схем за допомогою генератора слів.

а). Зведення про досліджувану мікросхему.

Таблиця 7.10

б). Експериментальне одержання таблиці істинності логічного елементна 2І-НІ мікросхеми 7400.

Таблиця 7.11

Експеримент 6. Реалізація логічної функції 3-х змінних.

а). Синтез схеми, що реалізує функцію, задану логічним виразом.

Схемна реалізація Таблиця 7.12

б). Синтез схеми, що реалізує задану функцію за допомогою логічного перетворювача.

Таблиця 7.13

а	b	с			f

Питання

1. Що таке логічна змінна і логічний сигнал? Які значення вони можуть приймати?

2. Що таке логічна функція?

3. Чи може бути логічним сигналом рівень напруги? Стан контакту? Загорання світлодіода?

4. Яка логічна функція описує поведінку системи пуску трифазного двигуна (двигун може бути запущений, якщо три датчики підтверджують наявність фазних напруг)?

5. Датчик температури складається з контакту, що замикається (розмикається) при перевищенні температури. При замиканні контакту виробляється сигнал логічної одиниці, при розмиканні — логічного нуля.

Яку схему варто використовувати для виявлення спрацьовування хоча б одного датчика пожежної сигналізації?

а) при підвищенні температури в датчику відбувається замикання контакту;

б) при підвищенні температури в датчику відбувається розмикання контакту.

6. Який сигнал повинний бути поданий на не використовувані входи елемента 8І-НІ, якщо потрі­бно реалізувати функцію 5І-НІ?

7. Який сигнал повинний бути поданий на не використовуваний вхід елемента 4АБО-НІ при ре­алізації функції ЗАБО-НІ?

8. У вашому розпорядженні маються логічні елементи 2І-НІ. Як на їх основі зробити схему ЗІ? Чи досить 4-х елементів 2І-НІ для виконання цієї задачі?

9. Як буде поводитися схема І, якщо на одному з входів внаслідок внутрішньої нес­правності буде постійно присутня логічна одиниця? Логічний нуль? Складіть таблицю істинності для несправної схеми ЗІ. Визначте поводження схе­ми І-НІ за тих самих умов.

10. Як буде поводитися схема АБО, якщо на одному з входів внаслідок внутрішньої, несправності буде постійно присутня логічна одиниця? Логічний нуль? Складіть таблицю істинності для несправностей схеми ЗАБО. Визнач­те поводження схеми АБО-НІ за тих самих умов.