Полный дифференциал для функции нескольких переменных и его связь с частными производным

Определение. Главная часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается:

Если существует полный дифференциал, то функция дифференцируемая. Так как бесконечно малые и стремятся к нулю, то полное приращение приближенно равно полному дифференциалу В связи с тем, что х,у независимые переменные, приращения Δ x, Δ у можно принять за дифференциалы функции dx,dy. Тогда окончательно получим (1) Предположим что дана функция n переменных u = f (x;y;z;…..;t), тогда аналогично формуле (1) ее полный дифф-л выражается формулой (*): (*)

Полный дифф-л функции нескольких переменных равен сумме частных производных, умноженных на дифф-лы соответствующих переменных.

Определение. Полным дифференциалом функции многих переменных называется главная линейная относительно приращений аргументов часть малого полного приращения функции.

Рассмотрим функцию двух переменных n=2; z=f(x,y). Если приращение функции можно представить в виде

,

где - бесконечно малые функции при , соответственно, то выражение называется полным дифференциалом функции двух переменных.

Теорема. Полный дифференциал равен сумме попарных произведений частных производных на дифференциалы соответствующих переменных.

.