Примеры решения задач. Задача 1.Уравнение движения материальной точки имеет вид ,где .Определите среднее значение скорости

Задача 1. Уравнение движения материальной точки имеет вид ,где .Определите среднее значение скорости, и ускорения в интервале времени от 2 до 4 сек.

Решение: по определению средней скорости:

По определению среднего ускорения, оно равно:

,

Мгновенная скорость может быть получена из уравнения

, тогда , .

Подставляя эти выражения в уравнение для среднего ускорения, получим:

.

То есть ускорение точки при заданном законе движения постоянно, что с очевидностью получается из уравнения движения, поскольку ускорение (его мгновенное значение) может быть получено дифференцированием уравнения движения, что дает именно такой результат:

Ответ:

Задача 2. С какой высоты упало тело, если вторую половину своего пути оно пролетело за 1 сек?

Решение: Проиллюстрируем задачу графически.

Поскольку в условии задачи весь, участок движения разбит на два нам необходимо будет записать два уравнения движения.

Так как на нижнем отрезке S₂ пути движение происходило с неизвестной нам начальной скоростью, рационально записать уравнения движения для всего отрезка и верхнего его участка S₁, поскольку в этих случаях начальная скорость равна нулю.

Учтем, что тогда , .

Решая эти уравнения совместно, подставляя верхнее уравнение в нижнее, получаем:

Решение этого уравнения имеет вид:

Второе решение квадратного уравнения не подходит по смыслу - все время движения не может быть меньше времени движения на втором участке пути.

Подставляя в выражение для h значение t, получаем:

.

Ответ: h=29,07м.

Задача 3: Человек тянет груз за веревку, при этом веревка составляет с горизонталью угол 45⁰, а коэффициент трения груза о горизонтальную поверхность, по которой он движется 0,01. Определите ускорение груза, если его масса 40 кг, а сила приложенная человеком к веревке 50 Н. Принять sin45⁰=cos45⁰ = 0,7.

Решение: В данном случае необходим также рисунок, иллюстрирующий условия задачи. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы ось OX совпадала с землей, а ось OY была к ней перпендикулярна. Груз будем считать достаточно малым, чтобы его можно принять за материальную точку.

Тогда на рисунке все силы будут приложены в одной точке – центре груза.

Кроме того, необходимо спроектировать, силу тяги на оси координат и найти ее компоненты и . Только после этого можно записать условие задачи в аналитической форме:

Составим систему уравнений описывающих движение тела. Основное уравнение движения в векторной форме будет иметь вид:

Для решения задачи его надо записать в скалярной форме в проекциях на оси OX и OY, то есть оно распадается на два скалярных уравнения:

Кроме того, следует учесть зависимость силы трения скольжения от N. Окончательно система уравнений имеет вид:

Выразив из двух последних уравнений N и F _ТР, подставим их в первое и получим окончательно:

Ответ: а=0,78 м/с².

Задача 4. К шару массой 2кг и радиусом 10см прикреплен стержень массой 4,8кг и длиной 1,2м, являющийся продолжением диаметра шара. Найти момент инерции системы относительно оси, проходящей через свободный конец стержня перпендикулярно к нему.

Решение. Момент инерции шара относительно оси О₂О₂ проходящей через центр шара .

Момент инерции шара относительно ОО по теореме Штейнера равен:

Момент инерции стержня относительно оси О₁О₁:

Момент инерции стержня относительно оси ОО по теореме Штейнера:

Суммарный момент инерции относительно оси ОО:

Ответ:

Задача 5. Блок имеет неподвижную ось вращения. Масса блока 1кг, радиус равен 0,2м. На блок намотана нить, к концу которой привязан груз массой 2кг. С каким ускорением будет двигаться груз?

В проекции на ось у получим:

(1)

Блок вращается равноускоренно, для него запишем основное уравнение динамики вращательного движения:

(2), где (3)

Для однородного диска

(4)

Угловое ускорение связано с тангенциальным ускорением соотношением:

(5)

Подставив выражения 3, 4, 5 в уравнение (2), получим:

(6)

Решая совместно (1) и (6), получаем:

Ответ: а=8м/с².

Задача 6. Человек массой 60кг стоит на краю платформы, имеющей форму диска радиусом 1м. Момент инерции платформы 20кг·м². Платформа вместе с человеком вращается с угловой скоростью 1рад/с. Какую работу совершит человек, перейдя в центр диска? Момент инерции человека считать, как для материальной точки.

Решение. Поскольку взаимодействие происходит между человеком и платформой, систему считаем замкнутой и применяем закон сохранения момента импульса. В начальный момент времени момент инерции системы:

Момент импульса системы:

Когда человек перешел в центр платформы, его момент инерции стал равен 0, угловая скорость изменилась до ω₂, а момент импульса

По закону сохранения момента импульса:

откуда

Начальная кинетическая энергия системы

Человек, перейдя в центр диска, совершил работу, что привело к изменению кинетической энергии системы, кинетическая энергия стала равной W₂.

По закону сохранения энергии работа равна:

(Дж)

Ответ: А=120 Дж.

Задача 7. В сосуде объемом 2м³ находится смесь 4кг гелия и 2кг водорода при температуре 27С. определить давление и молярную массу смеси газов.

Решение. Воспользуемся уравнением Клайперона – Менделеева, применив его к гелию и водороду:

(1)

(2)

где р₁ – парциальное давление гелия; m₁ – масса гелия; - его молярная масса; V - объем сосуда; Т - температура газа; R =8,31 Дж/(моль • К) - молярная газовая постоянная; p₂ - парциальное давление водорода; m₂ - масса водорода; - его молярная масса. Под парциальным давлением p₁ и р₂ понимается то давление, которое производил бы газ, если бы он только один находился в сосуде. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси:

(3)

Из уравнения (1) и (2) выразим p₁ и р₂ подставим в уравнение (3).

Имеем

(4)