Главная Случайная страница



Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Конечно-разностная аппроксимация





Пусть нижний индекс соответствует координате, а верхний времени, например , и кроме того, - шаг по координате, -по времени.

Аппроксимация производных имеет вид:

обозначим , тогда подстановка в уравнение теплопроводности даёт:

- плотность поверхностных источников,

полученную разностную схему перепишем в виде:

где - оператор, действующий на функцию .

Причина неустойчивости явной схемы при больших заключается в том, что для больших собственных значений , выражение , при уменьшении уменьш. неустойчив.
При отсутствии источников, получаем простую явную разностную схему:

 

 

.

 

 

Явная схема устойчива только при малых шагах по времени. Для повышения устойчивости можно перейти к неявным схемам, например,

, которую можно переписать как явную

,

где - обратный оператор, эта схема обладает лучшей устойчивостью.

Задание №18. Численное решение уравнения теплопроводности по явной разностной схеме. Выявление неустойчивости.

Уравнение: ,

Граничные условия: ,

Начальное условие гауссоида, центрированная относительно

 
 

 


Аналитическое решение имеет вид

где .

Задание.

Убедиться, что для шага по времени при явная схема работает устойчиво, а при неустойчиво (осцилляции).

Задание №19. Остывание шара.

Уравнение теплопроводности имеет вид:

и заменой переменных приводится к виду:

(как плоская стенка)

начальное условие:

граничные условия:

Вариант 1: Вычислить время остывания варённого куриного яйца,

в центре шара. Аналитическое решение даётся интегралом Пуассона

Вариант 2: За какое время остынет чугунное ядро в центре со до , .

Задание №20. Нагревание длинного стержня.

Как быстро распространяется температурная волна? Из уравнения

теплопроводности- бесконечно быстро, т.е. при сколь угодно малом,

(противоречит молекулярной физике!). Чтобы избежать этого надо брать конечное изменение температуры.



Рассмотрим краевую задачу подробнее, будем считать стержни теплоизолированными от воздуха и пренебрегаем излучением. Соответствует задаче о соприкосновении двух длинных стержней с разностью температур . Начальное условие приближённо имеет вид для правого стержня:

 
 
      Х правый стержень

 

 


 


 

 


{полагая, что стержень тонкий, и источник поддерживает постоянную температуру, получаем граничное условие} . Для правого конца где - длина стержня (это условие приближённое, с запасом, ).

Аналитическое решение рассматриваемой задачи имеет вид:

где - функция ошибок, см. Тихонов, Самарский, «Уравнения математической физики», с.233. Найдём скорость температурной волны, для этого приравняем «фазу» в двух близко расположенных точках

под скоростью будем понимать величину

Из полученной формулы видно, что скорость изменения координаты с заданной температурой зависит от материала, например, , и, кроме того, скорость уменьшается со временем. Для проверки можно осуществить следующий эксперимент:

 
 

 

 


Можно осуществить такой же компьютерный эксперимент (с графическим изображением падающих кнопок) при повышении , например, на . Отметим, что скорость тепловой волны зависит также от фазы, т.е. от значения температуры, которую мы «ждём» в точке наблюдения.

Замечания по поводу численной реализации алгоритма.

При задании граничного условия на свободной границе вносится дополнительная погрешность, снизить которую можно или «удлинением стержня» или переформулировкой граничного условия.

В первом случае запас по длине нужно выбирать с учётом допустимой погрешности решения. В нашем случае помогает анализ аналитического решения:

при , при этом

при , при этом

при , при этом

таим образом, достаточно выбрать .

Во втором случае можно, например, ввести бесконечный граничный элемент, тогда:

Х

 

 

будет оказывать демпфирующее воздействие на . Во втором случае длину можно ограничить . Хорошо бы сравнить численные результаты.

 

 








Date: 2015-05-04; view: 460; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2021 year. (0.028 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию