Понятие. Понятие — это форма мышления, отражающая наиболее существенные свойства предмета, отличающие его от других предметов

Высказывание. Высказывание (суждение) — это форма мышления, выраженная с помощью понятий, посредством ко­торой что-либо утверждают или отрицают о предметах, их свойствах и отношениях между ними.

О предметах можно судить верно или неверно, то есть вы­сказывание может быть истинным или ложным. Истинным бу­дет суждение, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. Ложным суждение бу­дет в том случае, когда связь понятий искажает объективные отношения, не соответствует реальной действительности.

Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не является высказыванием. Высказывание, состоящее из простых высказываний, называются составным (сложным).

Высказывания имеют определенную логическую форму.

По­нятие о предмете мысли называется субъектом и обозначается буквой S, а понятие о свойствах и отношениях предмета мысли называется предикатом и обозначается буквой P. Оба эти по­нятия — субъект и предикат называются терминами сужде­ния. Отношения между субъектом и предикатом выражаются связкой «есть», «не есть», «является», «состоит» и так далее.

Таким образом, каждое высказывание состоит из трех эле­ментов — субъекта, предиката и связки (двух терминов и связ­ки). Состав суждения можно выразить общей формулой « S есть Р» или «S не есть -Р».

Пример. Определить, что в суждении «Компьютер состо­ит из процессора, памяти и внешних устройств» является субъ­ектом, предикатом и связкой.

«Компьютер» — субъект, «процессора, памяти и внешних устройств» — предикат, «состоит» — связка.

Умозаключение. Умозаключение — это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, получается новое знание о предметах реального мира (вывод).

Умозаключения бывают дедуктивные, индуктивные и по аналогии. В дедуктивных умозаключениях рассуждения ведут­ся от общего к частному. Например, из двух суждений: «Все металлы электропроводны» и «Ртуть является металлом» пу­тем умозаключения можно сделать вывод, что «Ртуть электро-проводна».

В индуктивных умозаключениях рассуждения ведутся от частного к общему. Например, установив, что отдельные ме­таллы — железо, медь, цинк, алюминий и так далее — облада­ют свойством электропроводности, можно сделать вывод, что все металлы электропроводны.

Умозаключение по аналогии представляет собой движение мысли от общности одних свойств и отношений у сравниваемых предметов или процессов к общности других свойств и отноше­ний. Например, химический состав Солнца и Земли сходен по многим показателям, поэтому, когда на Солнце обнаружили не­известный еще на Земле химический элемент гелий, то по ана­логии заключили: такой элемент есть и на Земле.

Доказательство. Доказательство есть мыслительный про­цесс, направленный на подтверждение или опровержение како­го-либо положения.

Доказательство по своей логической форме не отличается от умозаключения. Однако, если в умоза­ключении заранее исходят из истинности посылок и следят то­лько за правильностью логического вывода, в доказательстве подвергается логической проверке истинность самих посылок.

Алгебра высказываний

Алгебра - наука об общих операциях аналогичных сложению и умножению, которые мо­гут выполняться над различными математическими объектами (алгебра переменных и функций, алгебра векторов, алгебра множеств и так далее). Объектами алгебры логики являются высказывания.

Простые высказывания в алгебре логики обозначаются за­главными латинскими буквами:

А = {Аристотель — основоположник логики};

В = {На яблонях растут бананы}.

Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложно­му — 0. Таким образом, А = 1, В = 0.

Составные высказывания на естественном языке образуются с помощью союзов, которые в алгебре высказываний заменяют­ся на логические операции.

Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умноже­ние);

• в естественном языке соответствует союзу и;

• в алгебре высказываний обозначение &;

• в языках программирования обозначение Аnd.

Конъюнкция — это логическая операция, ставящая в соот­ветствие каждым двум простым высказываниям составное вы­сказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пе­ресечения множеств, то есть множеству, получившемуся в ре­зультате умножения множеств А и В, соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам.

Таблица истинности Диаграмма Эйлера—Венна

А В А&В

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложе­ние);

• в естественном языке соответствует союзу или;

• обозначение v;

• в языках программирования обозначение Оr.

Дизъюнкция — это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, ког­да оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств, то есть множеству, получившемуся в результате сложения множеств А и В, соответствует множест­во, состоящее из элементов, принадлежащих либо множеству А, либо множеству В.

Таблица истинности