Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
СтроительствоМетодические указания к выполнению контрольной работы № 1
Для направлений бакалавриата: Строительство
Профиль: Промышленное и гражданское строительство Уфа 2012
00УДК 51(07) ББК 22.1я73,22.161.6 М 54
Рекомендовано к изданию методической комиссией механического факультета (протокол № 9 от 27 июля 2012 года) и заседанием кафедры математики (протокол № 7 от 10 апреля 2012 года)
Составители: доцент Авзалова З.Т., ассистент Чистякова С.В.
Рецензент: доцент кафедры физики Белобородова Н.Н.
Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики доцент Лукманов Р.Л. Порядок выполнения контрольных работ
К выполнению контрольной работы следует приступать после изучения соответствующего теоретического материала по учебнику и лекциям, а также решения задач на практических занятиях. При выполнении контрольных работ студент должен, руководствоваться следующими указаниями: каждую работу следует выполнять в отдельной тетради, на передней обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студента, шифр, номер контрольной работы и дата ее отсылки в институт; решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными, рекомендуется делать соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием формул, теорем, выводов, которые используются при решении; все вычисления должны быть приведены полностью, чертежи и графики должны быть выполнены аккуратно, четко, с указанием единиц масштаба, координатных осей, обозначения в задачах должны соответствовать указаниям на чертеже; для удобства рецензирования преподавателем контрольной работы следует оставлять на каждой странице поля; после получения отрецензированной работы студент должен исправить в ней все ошибки. В случае незачета студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование. Неверно выполненные задачи или вся работа заново решаются в той же тетради, исправление небольших недочетов и ошибок приводится в конце работы. До экзамена необходимо исправить все ошибки и получить зачет. Работы, выполненные небрежно, несамостоятельно, или содержащие задачи не своего варианта, возвращаются без проверки. В период экзаменационной сессии, на зачете студент обязан представить зачтенную контрольную работу и по требованию преподавателя дать устные пояснения ко всем задачам, содержащимся в работе. Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который соответствует двум последним цифрам i и j его учебного шифра и определяется по схеме данной преподавателем. Литература. 1. Шипачев В.С. Основы высшей математики. Учебное пособие./ Под редакцией А.Н. Тихонова. -2-е издание, стереотип.- М.: Высш. шк., 1994.-479с. 2. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. Учебное пособие.-2-е издание, испр.-М.: Высш. шк., 2000.-304с. 3. Зайцев И.А. Высшая математика. Учеб. для с/х вузов. 2-е издание, испр.и доп.-М.: Высш. шк., 1998.-409 с.
1 Решить заданную систему уравнений методом Крамера
1) , 2) 3) ,
4) , 5) , 6) ,
7) , 8) , 9) ,
10) , 11) , 12) ,
13) , 14) , 15) ,
16) , 17) , 18) ,
19) , 20) .
Решение типовой задачи
Решим систему уравнений с помощью формул Крамера.
Для этого вычислим главный определитель системы , который составляется из коэффициентов при неизвестных и вычислим его по правилу «треугольников»: Так как =-20 0, делаем вывод о том, что система имеет единственное решение. Для его отыскания вычислим вспомогательные определители , которые получаются из главного путем замены столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной на столбец свободных членов.
Тогда неизвестные x, y, z по формулам Крамера находятся следующим образом: х= , у= ; z= . Сделаем проверку, подставив найденные значения неизвестных в исходную систему: ,
Т.к. все три уравнения обращаются в верные равенства, то решение найдено правильно.
Ответ: (0;-1;-2) 2. В задачах 1-20 даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение сторон АВ и АС в общем виде и их угловые коэффициенты; 3) угол А в радианах; 4) уравнение медианы АD; 5) уравнение высоты СЕ и ее длину. Сделать чертеж.
Решение типовой задачи
Даны вершины треугольника АВС А(-2;5); В(10;-4); С(8;10). Требуется найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС в общем виде и их угловые коэффициенты; 3) угол А; 4) уравнение медианы АD; 5) уравнение высоты СЕ и ее длину. 1)Расстояние между двумя точками А (х ; );В (х у определяется по формуле d= (1), воспользовавшись которой находим длину стороны АВ: d= = = =15. 2)Уравнение прямой, проходящей через заданные точки А(х ;у ) и В(х ;у ) имеет вид: . (2) Подставляя в (2) координаты А и В получим уравнение прямой (АВ):
4у-20=-3х-6; 3х+4у-14=0- общее уравнение прямой (АВ). Угловой коэффициент прямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у=kx+b. 4у= -3х+14, , т.е. Подставляя в (2) координаты А и С получим уравнение прямой (АС): х+2=2у-10, х-2у+12=0- общее уравнение прямой (АС), 3) Требуется найти угол А между прямыми (АВ) и (АС), подставим угловые коэффициенты и в формулу: (3), , следовательно, А=arctg2 . 4)AD- медиана, поэтому точка D делит отрезок ВС пополам. Для вычисления координат середины отрезка воспользуемся следующими формулами: (4), в которые подставим координаты точек В и С: ; у = то есть D(9;3). Подставив в формулу (2) координаты точек А и D получим уравнение прямой (AD)- медианы: (AD): 11у-55=-2х-4; (AD): 2х+11у-51=0. 5) Высота СЕ перпендикулярна стороне АВ. Известно, что если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны соотношением: k , то есть k . Для составления уравнения высоты CD воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом k, которое имеет вид: (5). Подставив в (5) координаты точки С и угловой коэффициент k получаем (CE): у-10= 3у-30=4х-32; 4х-3у=2. Чтобы найти длину (СЕ), определим координаты точки Е- точки пересечения высоты (СЕ) и прямой (АВ). Для этого решаем совместно систему уравнений (АВ) и (СЕ): . Умножим первое уравнение на 4, а второе на- 3, получим , сложив эти два уравнения, получим 25y=50, т.е. y=2. Найдём x, подставив y=2 в первое из исходных уравнений: 3x+8-14=0, откуда x=2. Следовательно, Е(2;2). Длина высоты СЕ определяется по формуле (1): d= = = =10.
3 Найти указанные пределы: 1. : а) х , б) х 1, в) х . 2. : а) х , б) х , в) х . 3. : а) х , б) х , в) х . 4. : а) х , б) х , в) х . 5. : а) х , б) х , в) х . 6. : а) х , б) х , в) х . 7. : а) х , б) х , в) х . 8. : а) х , б) х , в) х . 9. : а) х , б) х , в) х . 10. : а) х , б) х , в) х . 11. : а) х , б) х , в) х . 12. : а) х , б) х , в) х . 13. : а) х , б) х , в) х . 14. : а) х , б) х , в) х . 15. : а) х , б) х , в) х . 16. : а) х , б) х , в) х . 17. : а) х , б) х , в) х . 18. : а) х , б) х , в) х . 19. : а) х , б) х , в) х . 20. : а) х , б) х , в) х . Решение типовых примеров
1) ;
2) .
При подстановке вместо переменной x её предельного значения 3, получается неопределенность вида . Для избавления от этого вида неопределенности представим квадратные трехчлены числителя и знаменателя в виде произведения линейных множителей, воспользовавшись известной формулой,где и -корни квадратного трехчлена У нас т.к. дискриминант квадратного трехчлена D=9-4 =81, а следовательно, По аналогии . Теперь условие задачи можно переписать в другом виде и продолжить решение 3) . Мы получили неопределенность вида , избавиться от которой можно делением числителя и знаменателя дроби на старшую степень переменной, т.е. на .
.
4 Найти производные заданных функций
1. а) у= ; б) у=cos ln8x; 2. а)у= ; б) у=ln arcsin3x; 3. а) у= б) у=arctg ln5x; 4. а) у= б) у=ln cos4x; 5. а) у= б) у=cos ln7x; 6. а) у= б) у= ln sin7x; 7. а) у= б) у=arctg ln5x; 8. а) у= б) у=ln arcsin2x; 9. а) у= б) у=sin ln7x; 10. а) у= б) у=tg ln7x; 11. а) у= б) у=ln cos6x; 12. а) у= б) у=ln arctg2x; 13. а) у= б) у=cos ln(5x+1); 14. а) у= б) у=arccos ln4x; 15. а) у= б) у=arctg ln5x; 16. а) у= ; б) у=ln sin(6x+1); 17. а) у= ; б) у=sin ln(1-2x); 18. а) у= ; б) у=ln arccos5x; 19. а) у= ; б) у=arcsin ln(2x-1); 20. а) у= ; б) у=ln arccos7x. При решении всех последующих задач кроме таблиц производных будут использованы известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, дроби и теорема о производной сложной функции.
1. ,
2. ,
3. .
4. Если задана сложная функция y=f(u), где u=z(x), т.е. y=f(z(x)) и каждая из функций y и u дифференцируема по своему аргументу, то . Решение типового примера
а) у= .
Если в знаменателе дроби стоит степень какого-либо числа, то эту дробь можно представить как отрицательную степень числа, например , так же , и т.д. Подкоренное выражение можно записать в виде степени, показателем которой является дробь: , и т.д. Поэтому
,
y = = = = = . б) у=ln arcsin6x y = (ln arcsin6x) = = = .
5 Исследовать данную функцию (т.е. найти точки экстремума и перегиба, интервалы возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости графика функции) и построить ее графики. 1. y= 2. y= 3. y= 4. y= 5. y= 6. y= 7.y= 8. y= 9. y= 10.y= 11. y= 12. y= 13. y= 14. y= 15. y= 16. y= 17. y= 18. y= 19. y= 20. y=
Решение типовой задачи Исследовать на экстремум функцию и определить интервалы ее возрастания и убывания, найти точки перегиба графика этой функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика. Построить график. Решение. Чтобы найти точки экстремума, вычисляем производную и приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение: Корни уравнения - критические точки. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: . Производную можно представить так: . Из последнего равенства видно, что в первом интервале , во втором и в третьем интервале . Следовательно, в первом и третьем интервалах функция возрастает, а во втором убывает. Так как в критической точке производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум. А в силу того, что в точке производная меняет знак с минуса на плюс, функция имеет минимум в этой точке. Вычислим значение функции в этих точках: .
Точка B(6;-8)- точка минимума. Точка A(-2;13 )- точка максимума. Чтобы найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости, находим вторую производную, приравниваем ее нулю и решаем полученное уравнение. x-2=0; x=2 – критическая точка второго рода. Эта точка разбивает числовую ось на два интервала: Как видно, в первом случае , во втором - Следовательно, в первом интервале график функции – выпуклый, во втором – вогнутый. Так как производная при переходе через точку х=2 меняет свой знак, то х=2 есть абсцисса точки перегиба графика. Вычисляем ординату этой точки: ; Таким образом, точка – точка перегиба графика функции. По результатам исследования строим график.
6 В задачах 1-20 требуется найти указанные неопределенные интегралы: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
|