Метод построения переходных функций с использованием формулы обратного преобразования Лапласа

Оригинал переходной функции может быть получен использованием формулы обратного преобразования Лапласа, так называемой формулы разложения, которая в общем случае имеет вид

,

где p _i – корни уравнения pD(p)=0, n_i - кратность корней. В случае только простых корней, когда среди них имеется m вещественных корней и l пар комплексно – сопряженных корней, формула разложения принимает вид

.

В этом выражении a_k и b_k – вещественная и мнимая части комплексно – сопряженных корней, а . Амплитуда и фаза колебательных составляющих определяются следующим образом:

,

; .

При вычислениях по приведенным выше формулам, в первую подставляется только один из пары комплексно – сопряженных корней. При вычислении фазового сдвига необходимо учитывать квадрант, в котором находится вектор A_ke^jj_k.

Пример. Построить переходную функцию замкнутой системы.

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид

,

где все коэффициенты заданы или вычислены ранее. Корни характеристического уравнения равны:

; ;

.

1) Построение переходной функции табличным методом.

Изображение переходной функции можно представить в виде:

,

где b=2a, c=a²+b².

Приведем полученное выражение к общему знаменателю и приравняем числитель этого выражения к числителю исходного изображения переходной функции. Приравняв члены при одинаковых степенях оператора p в правой и левой частях, получим систему линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Из этой системы сразу определяется А=1, после чего решается система 4-го порядка.

Решение этой системы дает:

; ;

; .

Три первых слагаемых изображения переходной функции являются табличными. Необходимо преобразовать к табличному виду четвертое слагаемое.

.

Полученные слагаемые являются табличными. Подставив численные значения параметров и использовав таблицы преобразования Лапласа, получим выражение для переходной функции

.

2) Построение переходной функции с использованием формулы разложения.

Вначале определим составляющие процесса, соответствующие вещественным корням.

; .

Для колебательной составляющей получим

, .

Так как вектор этой составляющей находится во втором квадранте, то

.

Следовательно

.

Переходные процессы, полученные различными способами, совпадают с точностью до арифметических вычислений. Кривая переходной функции показана на рис.15. Переходный процесс практически монотонный. Колебательная составляющая фактически никак себя не проявляет ввиду крайне малой амплитуды. Перерегулирование отсутствует: s =0. Время регулирования, определенное при D=0,05, приближенно равно 2,2 с., что для системы автоматического регулирования большинстве случаев является вполне приемлемым.

Рис.15. Переходная функция системы регулирования