Принцип аргумента

Частотные критерии устойчивости используются в графоаналитическом виде и отличаются большой наглядностью при проведении расчетов. В основе всех частотных методов лежит принцип аргумента.

Рассмотрим характеристическое уравнение системы

.

Если l_i, i=1,2,...n - корни этого уравнения, то

.

Каждому корню на комплексной плоскости соответствует определенная точка, и геометрически на этой плоскости каждый корень можно изобразить в виде вектора с модулем ½l_i½, проведенного из начала координат (рис.5.). Сделаем замену p=jw и получим

.

В соответствием с правилом вычитания векторов получим, что конец каждого элементарного вектора (jw - l_i) находиться на мнимой оси.

Рис. 5. К определению принципа аргумента

Аргумент вектора D(jw) равен сумме аргументов элементарных векторов

.

Направление вращения вектора (jw - l_i) против часовой стрелки при изменении частоты от -¥ до + ¥ принято считать положительным, а по часовой стрелке - отрицательным. Предположим, что характеристическое уравнение имеет m корней в правой полуплоскости и (n – m) корней в левой полуплоскости. При изменении частоты от -¥ до + ¥ каждый вектор (jw - l_i), начало которого лежит в левой полуплоскости повернется на угол +p, а каждый вектор, начало которого лежит в правой полуплоскости - на угол -p. Изменение аргумента вектора D(jw) при этом будет

. (6)

Это выражение и определяет принцип аргумента.

Изменение аргумента вектора D(jw) при изменении частоты от -¥ до +¥ равно разности между числом (n-m) корней уравнения D(p)=0, лежащих в левой полуплоскости, и числом m корней этого уравнения, лежащих в правой полуплоскости, умноженной на p.