Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

Для оценки устойчивости по этому критерию необходимо из коэффициентов характеристического уравнения составить определитель Гурвица по следующим правилам:

1) по главной диагонали выписываются все коэффициенты характеристического уравнения от а₁ до а_n в порядке возрастания индексов;

2) столбцы определителя заполняются коэффициентами от главной диагонали вниз по убывающим, а вверх - по возрастающим индексам;

3) места коэффициентов, индексы которых больше n или меньше нуля заполняются нулями.

Пример. Составим определитель Гурвица, для системы 5-го порядка с характеристическим уравнением системы

,

где все коэффициенты строго больше нуля. Получим

.

Для того чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части, и система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты и все диагональные определители определителя Гурвица были строго больше нуля.

Для устойчивости системы 5-го порядка необходимо выполнение условий

аk>0, k=0,1,2,...5;

D₂ =а₁а₂ - а₀а₃>0;

D₃=а₃D₂ - а₁²а₄>0;

D₄ =а₄D₃ -а₂а₅D₂ + а₀а₅(а₁а₄ - а₀а₅)>0;

D5 =а5D4>0.

Так как при выполнении необходимого условия устойчивости всегда а_n>0, то об устойчивости системы можно судить по определителям до D_n-1 включительно. Доказано, что если D_n-1=0, то система находится на колебательной границе устойчивости, т.е. имеет пару чисто мнимых корней. Из условия D_n-1=0 можно определить критические значения параметров системы, при которых она выходит на границу устойчивости.

Пример. Исследовать устойчивость САУ. Система задана структурной схемой.

На схеме обозначено:

k_u - передаточное число (коэффициент передачи);

; ;

k_wz - передаточное число обратной связи.

Для передаточной функции разомкнутой системы можно записать

,

где ; ; ; .

Передаточная функция замкнутой системы примет вид

,

где ; ; ; ; .

Составим определитель Гурвица

.

Оценим устойчивость системы для следующих значений параметров:

; ; ; , , ; .

При этих значениях для коэффициентов характеристического уравнения получим

; ; ; ; ; .

Следовательно, все коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы положительны и

;

;

.

Условия устойчивости выполнены и система при избранных параметрах устойчива.