Критерий устойчивости Михайлова

Из выражения (6) следует, что если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, т.е. m=0, то

.

Отсюда следует первая формулировка критерия Михайлова.

Система автоматического управления устойчива, если при возрастании частоты от -¥ до +¥ изменение аргумента вектора D(jw) будет равно np, где n - порядок характеристического уравнения.

Вектор D(jw) можно представить в виде

.

Вещественная составляющая этого выражения является четной функцией, а мнимая - нечетной функцией частоты, т.е. U(-w)=U(w);V(-w)= -V(w) и D(- jw)=U(w) - jV(w).

Отсюда следует, что кривая Михайлова симметрична относительно вещественной оси, и при ее построении можно ограничиться диапазоном частот от 0 до + ¥. Изменение аргумента вектора D(jw) при этом уменьшится в два раза и формулировка критерия Михайлова будет следующей.

Система автоматического управления устойчива, если при возрастании частоты от 0 до +¥ вектор D(jw) повернется на угол np/2 или, что то же самое, если кривая Михайлова при том же изменении частоты, начиная с положительной вещественной полуоси, обходит последовательно в положительном направлении n квадрантов и заканчивается в n-м квадранте (рис.6).

Если хотя бы один квадрант пропущен (рис.7), то система неустойчива.

Наблюдая за поведением кривой Михайлова для устойчивой САУ, можно заметить, что при ее прохождении через n квадрантов корни уравнений U(w)=0 и V(w)=0 чередуются между собой, т.е. между двумя корнями уравнения V(w)=0 лежит один корень уравнения U(w)=0.

Система автоматического управления, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если АФЧХ Wр(jw) разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ¥ не охватывает критическую точку с координатами (-1, j0).

Особенности возникают, если разомкнутая система нейтрально-устойчива, т.е.

,

где полином A₁(s) имеет все корни в левой полуплоскости. При w=0 АФЧХ разомкнутой системы W(jw)=¥ и проследить поведение кривой АФЧХ в окрестности этой точки невозможно. При изменении частоты от -¥ до +¥ наблюдается движение корней вдоль мнимой оси снизу вверх и при w=0 происходит бесконечный разрыв. При этом движении обойдем нулевой корень (рис.10) по полуокружности бесконечно малого радиуса r так, чтобы этот корень остался слева, т.е. искусственно отнесем его к левой полуплоскости.

Рис. 10. Годограф Найквиста для нейтрально- устойчивой САУ

При движении по этой полуокружности в положительном направлении независимая переменная изменяется по закону

,

где фаза j(w) изменяется от - p/2 до + p/2. Подставив это выражение в передаточную функцию вместо множителя p в знаменателе, получим

,

где R®¥ при r®0, а фаза j(w) изменяется от +p/2 до - p/2. Следовательно, в окрестности нулевого корня годограф W(jw) представляет собой часть окружности бесконечно большого радиуса, движение по которой происходит при увеличении частоты в отрицательном направлении.

Для оценки устойчивости замкнутой системы, если разомкнутая система нейтрально устойчива, необходимо АФЧХ W(jw) разомкнутой системы дополнить дугой бесконечно большого радиуса, начиная с меньших частот, в отрицательном направлении и для полученной замкнутой кривой воспользоваться критерием Найквиста для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии.

2) Разомкнутая система неустойчива. В этом случае

,

где s - число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости. Если замкнутая система устойчива, т.е. m=0, то

,

т.е. АФЧХ разомкнутой системы охватывает критическую точку (-1,j0) в положительном направлении ровно s / 2 раз.

Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если АФЧХ W(j сw) разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ¥ охватывает критическую точку (-1,j0) в положительном направлении ровно s/2 раз, где s - число правых полюсов разомкнутой системы.

Определение числа охватов критической точки - непростая задача, особенно в случае систем высокого порядка. Поэтому в практических приложениях нашла применение другая формулировка критерия Найквиста для рассматриваемого случая.

Переход годографа W(jw) через отрезок вещественной полуоси (-¥,-1), т.е. левее критической точки при увеличении частоты сверху вниз считается положительным, а снизу вверх - отрицательным.

Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если разность между числом положительных и отрицательных переходов АФЧХ разомкнутой системы равна s/2. т.е.

,

Угол g, образуемый прямой, проходящей через точку пересечения АФЧХ с окружностью единичного радиуса, что соответствует частоте среза системы, и отрицательной вещественной полуосью называется запасом устойчивости системы по фазе и равен

.