Методические указания

Если задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции, то интегральное исчисление решает обратную задачу – нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.

Приступая к изучению интегрального исчисления необходимо, прежде всего, усвоить понятие первообразной функции, понять геометрический смысл первообразной, как углового коэффициента касательной к кривой рассматриваемой функции в определенной точке. Следует разобраться, почему первообразных функции может быть множество. После этого можно приступать к рассмотрению основных свойств неопределенного интеграла и ряда правил, которые следует соблюдать при его вычислении.

Чтобы не было проблем с решением неопределенных интегралов различных, даже достаточно сложных функций, следует выучить интегралы от элементарных функций, которые по сути своей являются табличными. Для освоения приемов и правил решения неопределенных интегралов следует внимательно разобрать примеры, приводимые в рекомендуемой учебной литературе, и самостоятельно выполнить несколько упражнений на эту тему.

Переходя к определенному интегралу, следует в первую очередь разобраться с понятием интегральная сумма и ее геометрическим смыслом. Необходимо обратить внимание на принципиальные различия между неопределенным и определенным интегралами. Следует обратить также внимание, что определенный интеграл обладает рядом свойств, в чем-то сходных со свойствами неопределенного интеграла.

Затем следует разобраться с основными формулами интегрального исчисления: формулой Ньютона-Лейбница и формулой замены переменной, а также с геометрическими приложениями определенного интеграла и методикой приближенного вычисления определенного интеграла.

Следует обратить внимание, что определенные интегралы могут быть несобственными. К таким интегралам относятся интегралы, которые имеют отрезки интегрирования уходящие в бесконечность. Следует различать сходящиеся и расходящиеся несобственные интегралы и знать условия сходимости.

Необходимо разобраться, что интегралы, как и производные, могут быть нескольких порядков. Следует разобраться с геометрическим смыслом двойного и тройного интегралов, их свойствами и правилами вычисления кратных интегралов повторным интегрированием.

В заключении рекомендуется рассмотреть примеры использования понятия определенного интеграла в экономике и выполнить несколько упражнений по решению определенных интегралов.

Контрольные вопросы по теме

1. Какие задачи решает интегральное исчисление?

2. Какая функция называется первообразной?

3. Что такое неопределенный интеграл и в чем состоит его геометрический смысл?

4. Какими свойствами обладает неопределенный интеграл?

5. В чем заключается метод замены переменной при решении неопределенного интеграла?

6. В чем заключается метод интегрирования по частям?

7. Как производится интегрирование рациональных дробей?

8. Как производится интегрирование тригонометрических функций?

9. Что такое интегральная сумма и в чем ее геометрический смысл?

10. Что такое определенный интеграл и в чем его геометрический смысл?

11. В чем заключается экономический смысл определенного интеграла?

12. Какими свойствами обладает определенный интеграл?

13. В чем заключается смысл определенного интеграла как функции верхнего предела?

14. Из какой теоремы вытекает формула Ньютона-Лейбница?

15. В чем состоит особенность применения метод замены переменной при решении определенного интеграла?

16. В чем состоит особенность применения метода интегрирования по частям при решении определенного интеграла?

17. Какие известны геометрические приложения определенного интеграла?

18. Какие интегралы называют несобственными?

19. Чем отличается сходящийся несобственный интеграл от расходящегося?

20. В чем состоит методика приближенного вычисления определенного интеграла?

21. В чем состоит геометрический смысл двойного и тройного интегралов?

22. Какими свойствами обладают двойные и тройные интегралы и каковы правила их вычисления?

23. Как используется понятие определенного интеграла в экономике?