Нахождение первообразной функции.

Если задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции, то интегральное исчисление решает обратную задачу – нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.

Любая непрерывная на некотором множестве функция имеет на этом множестве первообразную (теорема Коши).

Первообразной функцией F(x) для функции f(x) называется функция, производная которой равна исходной функции, т.е.:

(F (x))' = f (x).

Пример.

Доказать равенство:

Решение.

Для доказательства данного равенства необходимо найти производную от левой и правой части.

Производная от левой части равна подынтегральному выражению:

Для нахождения производной от правой части ее необходимо преобразовать в более удобную форму для последующего дифференцирования:

Находим производную от полученного выражения:

Таким образом, мы доказали, что выражение является одной из первообразных функцией для функции .