Построение графиков функций.

Как известно, построение графика какой–либо функции можно с высокой степенью точности выполнить, зная ее характер и положение характерных точек. Для построения графиков следует использовать аппарат дифференциального исчисления. Общая схема исследования функции и построение ее графика следующая:

¨ Найти область определения функции.

¨ Исследовать функцию на четность — нечетность.

¨ Найти вертикальные асимптоты.

¨ Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

¨ Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

¨ Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

¨ Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Следует обратить внимание, что исследование функции проводится одновременно с построением ее графика.

Пример 1. Дана функция:

Требуется исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Нахождение области определения функции.

При нахождении области определения данной функции, видно, что при х =±1, ее знаменатель равен нулю и рассматриваемая функция в этих точках не существует.

Следовательно, данная функция существует только на участке от –¥ до –1, на участке от – 1 до 1 и на на участке от +l до +¥. Область определения данной функции

, т.е. x ¹±1.

2. Исследование функции на четность — нечетность.

Функция четная, так как в числителе и знаменателе аргумент представлен в четной степени (х ²), следовательно, f(- x)=f(x) и ее график симметричен относительно оси ординат.

3. Нахождение экстремумов и интервалов монотонности функции.

Т.к. в точках х = ±1 функция не существует, ее график асимптотически приближается к этим значениям. Вертикальные асимптоты могут пересекать ось абсцисс в точках х = ±1.

Т. к. пределы функции при х ® 1– 0 (слева) и при х ® 1+ 0 (справа) бесконечны, т.е. и , то прямая х = 1 есть вертикальная асимптота. В силу симметрии графика f (x) прямая х = –1 также является вертикальной асимптотой.

4. Исследование поведения функции в бесконечности, поиск горизонтальных или наклонных асимптот.

Для определения характера поведение данной функции в бесконечности необходимо найти ее пределы при х стремящимся к бесконечности.

Вычислим предел .

В силу четности данной функции имеем также

т.е. прямая y = –1является горизонтальной асимптотой.

5. Нахождение экстремумов и интервалов монотонности функции.

Известно, для того чтобы функция y=f (x) имела экстремум в точке х ₀, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю () или не существовала.

Найдем производную:

.

Прировняв производную нулю, находим точки экстремума: y' = 0 при x = 0, y' – не существует при х = ±1.

Однако критической является только точка x ₁ = 0 (так как значения х = ±1 не входят в область определения функции).

Необходимо определить вид экстремума в этой точке (минимум или максимум). Поскольку при х < 0 f' (x) < 0, а при х > 0 f' (x) > 0 (рис.1), то х= 0 — т.е. имеем точку минимума и – минимум функции. На интервалах (–¥,–1) и (‑1, 0) функция убывает, на интервалах (0, 1) и (1, ¥) — возрастает (см. рис.1)

6. Нахождение интервалов выпуклости функции и точек перегиба.

Функция y=f (x) выпукла вниз (вверх) на промежутке Х, тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Чтобы установить какую выпуклость имеет функция, необходимо дифференцировать ее дважды. Если вторая производная дважды дифференцированной функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Найдем вторую производную:

.

Очевидно, что у">0 на интервале (–1, 1), поэтому функция на этом интервале выпукла вниз. На интервалах (–¥, –1), (1, +¥) у " < 0, следовательно, на этих интервалах функция выпукла вверх. Точек перегиба нет.

7. Нахождение точек пересечения с осями координат и других характерных точек, уточняющих график.

Для нахождения точки пересечения графика с осью ординат, приравниваем аргумент нулю (х = 0), тогда y = f (0)=1, т.е. точка пересечения с осью ординат (0, 1).

Для нахождения точки пересечения графика с осью абсцисс приравниваем функцию нулю. Но данное уравнение в диапазоне у = ±1 решения не имеет, поэтому значение f (x) = 0 не существует, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс.

В результате проведенного исследования получаем график функции (см. рис. 2).

Рис. 2.