Теорема Вейерштрасса (о свойствах функции одной переменной, непрерывной на сегменте) и их обобщение на функции нескольких переменных.

Функция y=f(x) называется непрерывной в т. x=x₀, если она определена в этой точке и ее значение f(x₀) равно пределу функции в этой точке: ó "e>0 $d=d(e,x₀)>0 "хÎХ:|х-х₀|<dÞ|f(x)-f(x₀)|<e

Теорема1 (Вейерштрасса об ограниченности).:

Функция f(x) непрерывная на отрезке [a,b] ограничена, т.е. $ k>0 |f(x)|£k, "xÎ[a,b].

(f:[a,b]®R, f(x)ÎC[a,b]Þf ограничена на [a,b], т.е. $ k>0 |f(x)|£k, "xÎ[a,b].)

Док-во: (от противного) Пусть f(x) не ограничена Þ"nÎ N $x_nÎ[a,b]: |f(x_n)|>n.

Получили посл-ть {x_n}Î[a,b]: |f(x_n)|>n.

Но {x_n} огр. Þ (по Т Больцано-Вейерштрасса) {x_n} содержит сходящуюся под последовательность, т.е. ${x_nk}→x₀Î[a,b] Þ т.к. f непр., то {f(x_nk)}→f(x₀), k→∞ Þ {f(x_nk)} ограничена. Но это противоречит тому, что f(x) не ограничена "n. ‹

Замечание: Теорема неверна, если отрезок заменить интервалом. Так например функция f(x)=1/х непрерывна на (0,1), но не ограничена, так как .

Теорема2 Вейерштрасса о достижимости ф-ей точных верхней и нижней граней:

f:[a,b]®R, f(x)ÎC[a,b]Þ$x₁,x₂Î[a,b] такие, что f(x₁)=А= f(x), f(x₂)=а= f(x).

Док-во: (от противного) f огр. Þ $ A= f(x), a= f(x).

Пусть А¹ f(x) "хÎ[a,b] Þ"x[a,b] А-f(x)>0. Рассм на [a,b] вспомогательную, всюду положительную функцию F(x)=1/(A-f(x)) – непрерывна Þ (по предыд. Т)"xÎ[a,b] ф-ия ограничена

A= f(x) Þ "ε>0 $x`Î[a,b]: f(x`)>A-ε Þ A-f(x`)<ε Þ 1/(A-f(x`))>ε Þ неограничена

Þ противоречиеˆ

((Опр.:Пусть имеется n +1 переменная x ₁, x ₂,..., x _n, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x ₁, x ₂,..., x_n соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x ₁, x ₂,..., x_n называется значением функции f в точке (x ₁, x ₂,..., x_n), что записывается в виде формулы y = f (x ₁ ,x ₂,..., x_n) или y =y (x ₁ ,x ₂,..., x_n). Переменные x ₁, x ₂,..., x_n являются аргументами этой функции, а переменная y ‑ функцией от n переменных.))

Теорема(для ф многих переменных): Если y=f(x)=f(x₁,…,x_n) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве XÌRⁿ то она 1)ограничена, т.е "xÎX $k>0:|f(x)|£k, 2)достигает на Х своих точных верхней и нижней граней, т.е. $x,hÎХ: f(x)= f(x), f(h)= f(x)

((Док-во: (ограниченность) Как в R¹ По усл теор ф. Непрерывна на замкнутом ограниченном множестве. Т.е. локально ограничена -"хÎХ $ K_х>0 и d_х>0: | f(t)|£K_x "tÎXÇU(x, d_x) Видим, что система å={u(x,d_x)} открытых интервалов {u(x,d_x)} покрывает Х, по лемме о покрытиях имеется конечная å¢= {u(x⁽¹⁾,dx⁽¹⁾),…,u(x⁽ⁿ⁾,dx⁽ⁿ⁾)} покрытие Х. Обозначим K=max{ } убеждаемся, что оно искомое ˆ))