Формула Тейлора для функции одной переменной и нескольких переменных

Теорема Тейлора. Если 1) f(x)ÎDⁿ(а). 2) f: (а)→R. Þ справедлива формула Тейлора , x→a

Где P_n(x)= -многочл.Тейлора, остат. член в форме Пеано.

Док-во. P_n(x)» f(x).

1) Покажем, что f^(k)(a)=P_n^(k)

2) Покажем, что

=0 Þ

3) Докажем единственность

Пусть $ =a₀+ a₁(x)+…+a_n(xⁿ):

=a₀+ a₁(x-x₀+ x₀)+…+a_n((x-x₀+x₀)ⁿ)=C₀+C₁(x-x₀)+C₂(x-x₀)²+…+C_n(x-x₀)ⁿ

= =
= C₀ + C₁(x-x₀)+C₂(x-x₀)²+…+C_n(x-x₀)ⁿ

; ; ; ; Þ = P _n(x) „

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:

;

Для функции нескольких переменных:

Введем удобное для дальнейшего обозначение

Теорема: пусть функция z=f(x,y) непрерывна вместе со своими частными производными до порядка m включительно, m≥1, в некоторой δ-окрестности точки (x₀,y₀). Тогда для любых ∆x и ∆y, удовлетворяющих условию существует такое что + (1)

Следствие: В условиях теоремы имеет место формула (2)

Формулы (1) и (2) называются формулами Тейлора функции f в точке (x₀, y₀).

Пусть x=x₀+∆x, y=y₀+∆y

Многочлен , называется многочленом Тейлора степени m в точке (x₀, y₀), а разность – остаточным членом формулы Тейлора.

Формула (1) называется формулой с остаточным членом в виде Лагранжа, а (2) – формулой Тейлора с остаточным членом в виде Пеано.

8 Определенный интеграл с переменным верхним пределом, его свойства в зависимости от свойств подынтегральной функции. Формула Ньютона – Лейбница.

Если функция f(x) интегрируема на [a,b] (f(x)ÎÂ(a,b)) то она интегрируема и на любом вложенном отрезке [a,x]Ì[a,b] и имеет смысл функция F(x)= –интеграл с переменным верхним пределом.

Свойства:

1) Непрерывность: Если f интегрируема на [a,b], то F(x)= непрерывна на [a,b],

Док-во: проверим непрерывность "x₀Î[a,b]

В силу аддитивности: F(x)-F(x₀) = - = + - = .

Учитывая ограниченность |f(t)|£k "tÎ[a,b] (k=const k>0) ((опираясь на интегрирование нер-ва)) получаем:

|F(x)-F(x₀)|= £k|x-x₀| ■

2) Дифференцирование интеграла по переменному верхнему пределу

Пусть f(x) инт. на [a,b] и непр в т. x₀Î[a,b] тогда F(x)= диф-ма в т. х₀, причем F’(x₀)=f(x₀)

(((Доказательство:

Любая непрерывная функция имеет первообразную, которая совпадает с определенным интегралом.)))

Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)

Если функция F(x) – какая-либо первообразная от непрерывной функции f(x), то (это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница).

Доказательство: Пусть F(x) – первообразная ф. f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, ф. - первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое–то постоянное число C, то . При соответствующем выборе C это равенство справедливо для любого х, т.е. при х=а: Выражаем C: Þ . Тогда .

А при х = b: Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница: „.

((Теорема1 (Вейерштрасса об ограниченности).:

Функция f(x) непрерывная на отрезке [a,b] ограничена, т.е. $ k>0 |f(x)|£k, "xÎ[a,b].

(f:[a,b]®R, f(x)ÎC[a,b]Þf ограничена на [a,b], т.е. $ k>0 |f(x)|£k, "xÎ[a,b].)))

Опр: Функция y=f(x) называется непрерывной в т. x=x₀, если она определена в этой точке и ее значение f(x₀) равно пределу функции в этой точке: ó "e>0 $d=d(e,x₀)>0 "хÎХ:|х-х₀|<dÞ|f(x)-f(x₀)|<e.