Расчётно-графическое задание №1

по дисциплине: _________ __Сопротивление материалов___________________

(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

Тема: Расчет статически неопределимых систем

Вариант 5

Выполнил: студент гр. ГС-12-1 ___ _/Вильнер М.А./

Проверил: доцент____________/Миранцев Л.В./

Санкт-Петербург

Задание

Рассчитать площади поперечного сечения стержней конструкции

Данные:

Порядок выполнения РГР:

1) составить уравнения статики для заданной системы

2) определить степень статической неопределимости

3) построить схему перемещений элементов системы

4) составить уравнения совместимости деформаций

5) выразить уравнения совместимости деформаций через усилия или напряжения, используя закон Гука

6) решить систему уравнений статики и совместности деформаций относительно неизвестных усилий/напряжений

7) исходя из условий прочности, подобрать конструктивные размеры стержней

1. Расчет усилий от внешних сил Р₁ и Р₂ (ΔТ=0, Δδ=0)

Расчетная схема балки с указанием всех размеров и усилий:

Уравнение статики:

Таким образом, имеется 2 неизвестные и и одно уравнение статики: степень статической неопределимости К=1.

Для составления уравнения совместности деформаций необходимо рассмотреть схему перемещений элементов конструкции:

Под действием внешних сил стержень AD без изгибов и растяжений повернется из начального положения в положение AD₁, при этом стержень 1 удлинится на величину (в нем действуют силы сжатия, противодействуя растяжению), а второй укоротится на (действуют силы растяжения). Соответственно точки крепления стержней 1 и 2 переместятся из положений В и С в положения В₁ и С₁. Ввиду малости деформаций можно принять, что точки перемещаются по прямой линии.

Из рисунка , .

По подобию треугольников , ,

Условие совместности деформаций после преобразований (учитывая равенство углов):

Теперь и выражаем через закон Гука:

где и

Для удобства вычислений

Тогда

Выражаем S₁:

Это выражение нужно подставить в уравнение статики и оттуда найти S ₂:

Проверка (подстановка в начальное уравнение статики):

2. Определение напряжений, вызванных неточностью изготовления (Р=0, ΔТ=0, Δδ 0)

Первый стержень изготовлен с неточностью 0,001 м, то есть фактическая длина больше номинальной) и при сборке его придется сжать. Поэтому при сборке в стержнях появятся дополнительные напряжения. Расчетная схема с дополнительными напряжениями будет выглядеть так:

Уравнение равновесия: оба стержня сжимаются.

Из схемы перемещений:

Соотношение между и аналогично соотношению между и :

Условие совместности деформаций:

монтажные напряжения, ,

Отсюда выразим

Из этого уравнения тоже выразим

Учитывая все соотношения и равенство углов:

Проверка:

3. Расчет температурных напряжений (Р=0, δ =0, ΔТ 0)

Температура изменяется только у второго стержня: он охлаждается на 20°С. При этом он укорачивается на . При сборке конструкции его упругое удлинение составляет .

При сборке стержень 2 будет растягиваться, стержень 1 так же будет растягиваться, при этом точки C и D переместятся в точки C₁ и D₁.

Из подобия треугольников ABB₁ и ACC₁:

, , где и - упругие деформации стержней.

На рисунке обозначены реактивные усилия стержней R₁ и R₂.

Учитывая равенство углов, выражаем укорочение:

Уравнение равновесия:

, , где и

,

Подставляем это в уравнение равновесия и выражение укорочения стержня:

Выражая из 2 уравнения и подставляя его в 1, получаем:

Окончательные значения температурных напряжений получаются равными:

,