Наследники Евклида: Эратосфен и Архимед

Напротив, в привычной геометрии эллины успели продвинуться заметно дальше Евклида. Третий век до н.э. украшен славными именами Аристарха и Архимеда, Эратосфена и Аполлония. Все они были скорее универсалы, чем "чистые" математики. Аристарха считают астрономом, поскольку он первый обосновал гипотезу о том, что все планеты обращаются вокруг Солнца. Но рассуждение Аристарха - это чистая стереометрия, в духе Анаксагора.

Разница в том, что Аристарх изначально предположил: Солнце может иметь иной размер, чем Луна! Так в старой задаче появилась новая неизвестная величина. Чтобы справиться с нею, нужно добавить еще одно уравнение, а для этого - изобрести новый метод наблюдения небес. Аристарх сделал это, рассуждая просто и красиво.

Земля, Луна и Солнце - это три шара; их центры лежат в одной плоскости. Когда мы видим ровно половину лунного диска, освещенную Солнцем - луч нашего зрения образует прямой угол с осью, соединяющей центры Солнца и Луны. Чтобы узнать отношение сторон в этом огромном прямоугольном треугольнике, надо измерить в нем хоть один угол. Мы можем это сделать, наблюдая Солнце и Луну одновременно - на рассвете, или на закате. Выполнив эти наблюдения и расчеты, Аристарх сделал вывод: лунный диаметр втрое меньше земного, а диаметр Солнца в семь раз больше, чем диаметр Земли.

Эти оценки так же грубы, как расчеты Анаксагора. Но верен главный вывод Аристарха: Солнце больше Земли, поэтому Земля вращается вокруг Солнца! Так астрономия получила, наконец, от геометрии верную модель Солнечной системы. Увы - модель Аристарха оказалась слишком груба для астрономических предсказаний. Поэтому большинство звездочетов не верили ей, а пользовались более могучей вычислительной техникой Гиппарха.

Большее доверие вызывал у своих современников ученик Аристарха - Эратосфен. Он жил в 276-194 годах до н.э. и многие годы возглавлял Александрийский Музей. Ученики дали ему прозвище "Бета" - по имени второй буквы алфавита, поскольку Эратосфен был "вторым специалистом" в очень многих областях. "Альфой" в математике был его лучший друг и ровесник - Архимед из Сиракуз (280-212 годы до н.э.)

В арифметике Эратосфен стал вторым гроссмейстером - после Евклида. Он составил первую таблицу простых чисел ("решето Эратосфена") и заметил, что многие простые числа группируются в пары близнецов: таковы 11 и 13, 29 и 31, 41 и 43. Евклид доказал, что множество всех простых чисел бесконечно. Верно ли то же самое для чисел-близнецов? Эта задача не покорилась Эратосфену. Знать бы ему и его насмешливым питомцам, что она не будет решена даже через 22 столетия! В наши дни "проблема близнецов" остается единственной не решенной задачей, которая досталась нам от Античности. Справятся ли с нею математики 21 века?

В стереометрии (то есть, в математической астрономии и географии) Эратосфен был более удачлив. Он составил карту неба с 675 звездами, вычислив их координаты в градусах (Этот способ численного хранения геометрической информации изобрел Евдокс). Далее последовала карта известных Эратосфену областей Земли: от Британии до Цейлона, от Балтики и Каспия до Эфиопии. Оставалось узнать размер земного шара и его положение по отношению к Солнцу - то есть, угол наклона земной оси к той плоскости, в которой движутся Земля и Солнце. То и другое Эратосфен сумел рассчитать на основе несложных наблюдений и простых картинок. Например, для определения радиуса Земли оказалось достаточно узнать расстояние от Александрии до Сиены (Асуана) и измерить высоту Солнца в полдень одновременно в этих двух городах (которые они лежат на одном меридиане).

Но мало кто из эллинов поверил этому расчету. Ведь получалось, что вся известная грекам Ойкумена (населенная часть Земли) составляет меньше одной сотой доли от поверхности земного шара. "Не может быть, чтобы мы так мало знали!" - таков был единодушный приговор просвещенных жителей Александрии. Что поделать! Только ученые (и то не все и не всегда) смеют догадываться о том, как мал объем их знаний - даже вместе с догадками...

Успешно проверив географию с помощью геометрии, Эратосфен решил проверить историю с помощью арифметики. Он знал, что от эпохи Пифагора и Фалеса его отделяютпримерно 300 лет. Но какой срок отделяет Пифагора от Гомера, или от героев Троянской войны? Что творилось в те далекие времена в Египте? Сколько веков простояли до тойпоры великие пирамиды? Эратосфен был уверен, что все природные факты можно упорядочить с помощью здравого смысла и строгой математики. В датировке Троянской войныон ошибся менее чем на сто лет! Так что были основания для веры во всемогущество точных наук у ученых Александрийской эпохи...

Наибольшее основание для такой уверенности имел Архимед из Сиракуз - величайший ученый в истории Эллады и во всей Античности. По интересам он был скорее физик (как Анаксагор или Аристарх), но по методам работы - универсальный геометр и начинающий алгебраист. Юность он провел в Александрии, учась у Аристарха и Конона - ученика Евклида. Там он подружился с Эратосфеном. Всю жизнь друзья переписывались, причем Эратосфен представлял собою весь коллектив Александрийского Музея. Архимед же один стоил целой академии наук.

Гения в науке можно распознать по тому, как быстро он осваивает достижения предшественников и как неудержимо бросается вперед с этого стартового рубежа. Для Архимеда стартовыми опорами стали Евклид и Евдокс. Высшим достижением Евдокса была геометрическая теория чисел, которая привела к построению числового луча из точек. Высшее достижение Евклида - это вычисление объема пирамиды методом "исчерпания", когда фигура разбивается на тонкие ломтики-призмы, а их объемы суммируются с помощью арифметики.

Сопоставив эти две теории, Архимед понял, что любую плоскую или пространственную фигуру можно разбить на мельчайшие области-песчинки (как Евдокс разбил на точки луч), а потом суммировать площади или объемы песчинок, как Евклид суммировал объемы ломтиков пирамиды. При этом арифметика и геометрия работают, как две руки - передавая задачу из ладони в ладонь, пока она не будет решена. Конечно, это трудное ремесло - даже два разных ремесла; но Архимеду то и другое было по плечу.

Несмотря на неудобную запись чисел, Архимед уверенно суммировал последовательности натуральных чисел, или их квадратов, или кубов. Используя эти суммы и не зная таких понятий "из будущего", как многочлен и интеграл, Архимед, по сути дела, интегрировал многчлены - и ни разу не ошибся в этой работе! Сначала он вычислил площадь фигуры, ограниченной отрезками параболы и прямой. Затем были найдены объемы тел, полученных при вращении этой фигуры вокруг разных осей; по этим данным Архимед нашел центр тяжести плоской фигуры. Сейчас такие задачи решают студенты-математики, сдающие зачет на первом курсе; но сделать это впервые в истории было гораздо трудней!

Покорив первые вершины в неведомом хребте Математического Анализа, Архимед пожелал новых подвигов. Его увлекла главная проблема астрономии - движение планет вокруг Солнца. Архимед был уверен: существует простое описание этого движения, и найти его можно тем же "методом песчинок"! Конечно, понадобятся точные измерения положений планет; придется очень много вычислять; и, наверное, полезны будут механические модели Солнечной системы...

Пройти этот путь до конца Архимед не сумел. Великая проблема движения планет была решена только 18 веков спустя. Ради этого результата были потрачены жизни трех замечательных ученых: астронома Браге, вычислителя Непира и математика Кеплера. В своей работе они использовали алгебраический аппарат, изобретенный учеными итальянцами - а также числовые координаты на плоскости, введенные Декартом. Без этих новых понятий (не говоря уже о позиционной системе записи чисел) "метод песчинок" не обладал нужной мощностью; с ними он превратился в могучий Математический Анализ. Архимед предвидел это будущее - но не мог ни достичь его одним прыжком, ни убедить своих коллег-современников присоединиться к его геройскому штурму.

В 212 году до н.э. гордый консул Метелл, взяв штурмом Сиракузы, доставил в Рим небывалый трофей: металлическую модель Солнечной системы из подвижных сфер и окружностей, изготовленную самим Архимедом. Тот экспериментировал с нею, когда нехватало прямых наблюдений над звездами и планетами. В наши дни такой прибор называют "механическим аналоговым компьютером". Римляне с изумлением глядели на чудесную игрушку, вертели ее так и сяк... Как это похоже на современного ребенка, который играет за экраном компьютера, не подозревая о том, на что способна эта машина!