ЗАДАЧА № 2

Несколько человек решили организовать видеокафе на 6 столиков по 4 места за каждым. С каждого посетителя будет взиматься плата за сеанс видеофильма и ужин (всем посетителям будет предлагаться один и тот же набор блюд). Администрация города постановила, что плата за вход не должна превышать 5 $. Требуется определить такую входную плату, при которой будет получена наибольшая выручка.

Казалось бы, здесь и решать нечего. Разве не ясно, что чем больше входная плата, тем больше выручка. Вот и ответ: входная плата должна быть 5 $. Очень часто планирующие органы подоб­ным образом и поступают. В нашем случае если сильно увели­чить входную плату, то люди перестанут посещать кафе.

Начать надо, как всегда, с построения математической мо­дели. В чем были причины нашей неудачи? Мы предположи­ли, что посещаемость не зависит от входной платы, и получи­ли модель задачи, не соответствующую действительности. Зна­чит, надо предполагать, что посещаемость зависит от входной платы.

Обозначим входную плату через X. Тогда среднее число посе­тителей видеосалона является функцией от Х Обозначим эту фун­кцию через Р(Х). В задаче требуется найти такое значение X. при котором выручка, равная произведению входной платы на количе­ство посетителей Х´Р(Х). достигает максимума. Если бы функ­ция Р(Х) была известна, то найти требуемый максимум не соста­вило бы особого труда. Но эта функция не известна, поэтому попробуем найти хотя бы общий вид функции. Его можно ука­зать, обобщив опыт работы подобных кафе:

P(X)=ax²-bx+c. (2)

Коэффициенты а, Ь и с для каждого кафе свои. Как же их оп­ределить? Проще всего найти значение с. Представьте себе нево­образимое - в видеокафе пускают бесплатно (т. е. Х=0). Ясно, что свободных мест не будет. Следовательно, Р(0) равно числу мест в

кафе. С другой стороны, подставив 0 вместо X, получим Р(0)=с. Значит, с равно количеству мест. В нашем случае с=24 (6 столи­ков по 4 места за каждым).

Определить а и А так же просто не удается. Справочников по посещаемости видеокафе еще нет. Поэтому здесь требуется экс­перимент.

Достаточно открыть кафе и установить на некоторый срок (дней на десять) определенную плату за вход. Среднее число посетителей и даст нам (приближенное!) значение функции. Установив другую плату за вход, найдем приближенное зна­чение Р(Х) при новом X, и так несколько раз.

Зависимость посещаемости от входной платы (на основе экспериментальных данных для конкретного кафе):

Пользуясь электронной таблицей, можно подобрать значения а и Ь способом, аналогичным описанному при решении задачи № 1, т.е. минимизацией погрешности между экспериментальной и теоретической выручкой. Затем можно определить, при какой входной плате выручка будет наибольшей.

ХОД РАБОТЫ:

ЗАДАНИЕ 1. Внимательно ознакомьтесь с постановкой задачи.

На каких предположениях строится математическая модель? Что является исходными данными? Что должно явиться результатом?

ЗАДАНИЕ 2. Заполните таблицу эксперимента (рис. 8.8).

РИС. 8.8