Тема 2.1. Основные комбинаторные конфигурации и способы вычисления вероятности события

Основные понятия и термины по теме:

Комбинаторика, перестановки, размещения, сочетания, теория вероятностей, вероятность события.

План изучения темы:

1. Правила суммы и произведения.

2. Размещения и сочетания.

3. Равновероятностные возможности. Вероятность события.

4. Число вариантов.

Краткое изложение теоретических вопросов:

1. Правила суммы и произведения.

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения. В комбинаторике, которая возникла раньше теории множеств, правило нахождения числа элементов объединения двух непересекающихся конечных множеств называют правилом суммы и формулируют в таком виде: Если объект a можно выбрать m способами, а объект b – k способами (не такими, как а), то выбор «либо а, либо b» можно осуществить m+k способами. В обобщенном виде способ подсчета элементов в декартовом произведении конечных множеств называется правилом произведения и формулируется следующим образом:

Если объект a можно выбрать m способами, а объект b – k способами, то пару (а, b) можно выбрать m*k способами.

2. Размещения и сочетания.

Сочетания без повторений — комбинаторные соединения из n элементов по m, составленные из этих элементов и отличающиеся друг от друга только составом. Нередко встречаются задачи, в которых требуется подсчитать число кортежей длины m, образованных из n элементов некоторого множества, но при условии, что элементы в кортеже не повторяются. Такие кортежи называются размещением без повторений из n элементов по m. Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Размещения с повторениями — комбинаторные соединения, составленные из n элементов по m. При этом каждый из n элементов может содержаться сколько угодно раз или вообще отсутствовать. Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

3. Равновероятностные возможности. Вероятность события.

В ероятность события количественно характеризует возможность (шанс) осуществления этого события в ходе случайного эксперимента. Представим, что эксперимент с пространством из n элементарных исходов, которые равновероятны. Элементарные исходы являются несовместными событиями (напомним, что несовместные события - это те, которые не могут произойти одновременно), поэтому вероятность каждого из них равна 1/n. Допустим, нас интересует событие А, которое наступает только при реализ ции благоприятных элементарных исходов, количество последних m (m< n). Тогда, согласно классическому определению, вероятность такого события: Р(А)=m/n.

4. Число вариантов.

При «формальном» методе решения нужно определить характер выбора комбинации, выбрать соответствующую формулу или комбинаторное правило (имеется в виду правила суммы и произведения), подставить числа и вычислить результат. При «неформальном» же методе решения на первый план выходит сам процесс составления различных вариантов. И ответ на вопрос «Сколько возможных вариантов?» получается из ответа на вопрос «Какие варианты могут получиться?». Основным признан метод системного перебора вариантов. Для облегчения перебора возможных вариантов решения задачи пользуются таблицами, графами или схематическими рисунками. Рассмотрим на примере задачи: «Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7, 4? Запишите все такие числа».

Решение: Существует единый подход к осуществлению систематического перебора – строится особый рисунок, называемый графом. Так, для задачи он будет иметь вид:

Граф называется «деревом возможностей».