Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Расчеты стержневых систем на устойчивость ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3 При расчетах конструкций на устойчивость используем уравнение (5.3), в котором матрица жесткости определяется так же, как при статическом расчете, а матрица геометрической жесткости вычисляется методом сложения жесткостей отдельных элементов. Матрица геометрической жесткости для отдельного элемента (Рис.5.6) , где (5.10) - компонент матрицы геометрической жесткости сжатого конечного элемента. Функции определены формулами (5.5). Вычисляя по (5.10), (5.5) при , получаем . (5.11) геометрическую матрицу жесткости стержневого элемента. Рассмотрим стойки с различными закреплениями концов (Рис. 5.7). На Рис.5.7a изображена стойка со свободным верхним концом. На рис.5.8 показана расчетная схема этой стойки, принятая в виде одного конечного элемента с двумя неизвестными перемещениями свободного конца: Z1 и Z2. Матрица жесткости для стойки вычисляется с помощью (5.7): . Матрица геометрической жесткости вычисляется по (5.11): . После подстановки найденных значений в (5.3) получаем . (5.12) После простых преобразований (5.12) приводится к виду . В том случае, когда , необходимо чтобы детерминант матрицы, стоящей в скобках, был равен нулю. Это приводит к решению уравнения: , где , (5.13) или, раскрывая определитель, получаем квадратное уравнение: , корни которого равны , . Из (5.13) находим наименьшую критическую силу . Точное значение критической силы для этой стойки . Погрешность МКЭ составила 0.81%.
На рис.5.7б изображена стойка с плавающей заделкой на верхнем конце. На рис.5.9 показана расчетная схема этой стойки, принятая в виде одного конечного элемента с одним неизвестным поступательным перемещением конца: Z1.
Матрица жесткости и матрица геометрической жесткости для неё вычисляется с помощью (5.7), (5.11): , После подстановки найденных значений в (5.3) получаем . При , , откуда . Точное значение критической силы для этой стойки . Погрешность МКЭ составила 1.3%.
На рис.5.7в изображена стойка со связями, препятствующими перемещениям и повороту концевых сечений. На рис.5.10 показана расчетная схема этой стойки, принятая в виде двух конечных элементов с одним неизвестным поступательным перемещением середины стойки: Z1.
Матрица жесткости и матрица геометрической жесткости для неё вычисляется с помощью выражений(5.7), (5.11) , . После подстановки найденных значений в (5.3) получаем , откуда находим при , . Точное значение критической силы для этой стойки . Погрешность МКЭ составила 1.3%.
На рис.5.7г изображена стойка с жестко заделанным и шарнирно опертым концами. На рис.5.11 показана расчетная схема этой стойки, принятая в виде двух конечных элементов с тремя неизвестными: поступательным перемещением середины стойки Z1, углом поворота среднего сечения Z2 и углом поворота шарнирно опертого сечения Z3. С помощью (5.7) вычисляются элементы матрицы жесткости:
, , , , , . и с помощью (5.11) вычисляются элементы матрицы геометрической жесткости: , , , , , . После подстановки найденных значений в (5.3) получаем при , получим уравнение , (5.14) где . Раскрыв определитель (5.14), получим алгебраическое уравнение третьего порядка, решив которое найдем корни Ni. Наименьший корень даст величину критической силы для стойки. Расчет проведем, используя программный пакет Maple: > restart; > EI:=EI:L:=6.: > with(LinearAlgebra): > K:=2.*EI/((0.5*L)^2)*<<L^2/2|-1.5*L|L^2/4>,<-1.5*L|12|0>,<L^2/4|0|L^2>>; > KG:=1/30*<<L^2|-1.5*L|-L^2/4>,<-1.5*L|72|0>,<-L^2/4|0|2*L^2>>; > Sob_chisla:=Eigenvalues(K^(-1).KG); Наибольшее собственное число матрицы : 1.738391356/EI равно обратному значению критической силы для этой стойки: Точное значение критической силы для этой стойки . Погрешность МКЭ составила 0.191%.
На рис.5.7д изображена шарнирно опертая стойка. На рис.5.12 показана расчетная схема этой стойки, принятая в виде двух конечных элементов с четырьмя неизвестными: углами поворотов шарнирно опертых сечений Z1 и Z4 , поступательным перемещением середины стойки Z1 и углом поворота среднего сечения Z2. С помощью (5.7) вычисляются элементы матрицы жесткости: , , , , , , , , , , , , , , , . и с помощью (5.11) вычисляются элементы матрицы геометрической жесткости: , , , , , , , , , , , , , , , . После подстановки найденных значений в (5.3) получаем , при , получим уравнение , (5.14) где . Раскрыв определитель (5.14) получим алгебраическое уравнение четвертого порядка, решив которое найдем корни Ni. Наименьший корень даст величину критической силы для стойки. Расчет проведем, используя программный пакет Maple: > restart; > EI:=EI:L:=6.: > with(LinearAlgebra): > K:=2.*EI/((0.5*L)^2)*<<L^2/2|-1.5*L|L^2/4|0>,<-1.5*L|12|0|1.5*L>,<L^2/4|0|L^2|L^2/4>,<0|1.5*L|L^2/4|L^2/2>>; > KG:=1/30*<<L^2|-1.5*L|-L^2/4|0>,<-1.5*L|72|0|1.5*L>,<-L^2/4|0|2*L^2|-L^2/4>,<0|1.5*L|-L^2/4|L^2>>; > Sob_chisla:=Eigenvalues(K^(-1).KG); Наибольшее собственное число матрицы : 3.620329309/EI равно обратному значению критической силы для этой стойки:
Точное значение критической силы для этой стойки . Погрешность МКЭ составила 0.752%. Мы провели расчеты всех вариантов стоек постоянной жесткости с различными закреплениями концов по МКЭ. Для стоек с одним подвижным концом стойка рассматривалась состоящей из одного конечного элемента, а для стоек с неподвижными концами – состоящей из двух конечных элементов. Сравнив результаты расчетов с точными решениями видим, что погрешность МКЭ для всех случаев меньше 1.5 %. Определим критический параметр N для одноэтажной рамы, показанной на рис.5.13. Рама имеет два жестких смещающихся в горизонтальном направлении узла. Расчетная схема принята в виде трех конечных элементов (смотри рис.5.14): левая стойка, ригель и правая стойка. Неизвестными считаем: горизонтальное перемещение ригеля Z1, угол поворота левого Z2 и угол поворота правого узла Z3.
С помощью (5.7) вычисляются элементы матрицы жесткости: , , , ,
, , , , . и с помощью (5.11) вычисляются элементы матрицы геометрической жесткости: После подстановки найденных значений в (5.3) получаем , при , получим уравнение , (5.15) где . (5.16) Раскрыв определитель (5.15) получим алгебраическое уравнение третьего порядка, решив которое найдем корни Ni. Наименьший корень даст величину критического параметра для рамы на рис.5.13. Или можно найти собственные числа: , для матрицы . Наибольшее собственное число даст величину обратную критическому параметру. Расчет проведем, используя программный пакет Maple:
> restart; > EI:=EI:L:=6: > with(LinearAlgebra): > K:=2.*EI/L^2*<<12|3*L|3*L>,<3*L|6*L^2|2*L^2>,<3*L|2*L^2|6*L^2>>;
> KG:=1/30*<<108|6*L|3*L>,<6*L|8*L^2|0>,<3*L|0|4*L^2>>;
> Sob_chisla:=Eigenvalues(K^(-1).KG);
Наибольшее собственное число матрицы : 6.344755585/EI равно обратному значению критического параметра для этой рамы (рис.5.13):
|