Динамический расчет систем со многими степенями свободы

, (4.7) Е – единичная матрица.

После подстановки (4.6) и (4.7) в (4.5) получаем векторное равенство:

(4.8) . (4.9)

Из обыкновенных неоднородных дифференциальных уравнений (4.8) находим коэффициенты и согласно (4.2) решение поставленной за­дачи:

. (4.10)

Уравнение (4.8) представляет собой систему независимых линейных дифференциальных уравнений второго порядка:

(4.11)

где - собственная частота i –й формы колебаний. Для получения ре­шения уравнения (4.11) при действии на систему произвольной нагрузки достаточно знать импульсную переходную функцию (ИПФ), которая представляет собой решение этого уравнения при , – дельта-функция Дирака.

(4.12)

Решение уравнения (4.12) хорошо известно:

, (4.13)

тогда решение (4.11) при любом b(t), действующем при t > 0, имеет вид

,

или с учетом (4.9)

и в матричной форме

.

Примем , тогда, обозначив

, (4.14)

. (4.15)

- диагональная матрица, элементами которой являются функции (4.14).

Из (4.10) определяем динамические перемещения

, (4.16)

где - (4.17)

парциальная матрица.

Формулы, полученные в этом разделе, относятся к случаю отсутст­вия диссипативных сил. В таких системах после исчезновения возму­щающих нагрузок механическая энергия остается постоянной, вследствие чего колебания с течением времени не затухают.

Для учета диссипативных сил в уравнение движения (4.1) необхо­димо ввести дополнительное слагаемое, учитывающее силы неупругого сопротивления движению. Из-за многообразия сил сопротивления (внеш­него трения сухого и вязкого, внутреннего трения в материале и т.п.), и представления их различными моделями неупругого сопротивления (ли­нейными и нелинейными, зависящими и независящими от частоты или амплитуды и т.д.) колебаний, невозможно однозначно ввести диссипатив­ное слагаемое в (4.1).

В настоящее время нормативными документами рекомендуется ис­пользовать физически реализуемые модели сопротивления. К этим мо­делям относятся: скорректированная модель Фохта (вязкого трения) и час­тотно-независимая модель внутреннего трения.

Эти модели допускают разложение линейных операторов диссипа­тивных сил по формам операторов упругих сил, в результате поиска ре­шения (4.1) в виде такого разложения (4.10) приходим к решению системы независимых линейных уравнений относительно коэффициентов a(t).

Для решения динамической задачи при любом воздействии на сис­тему достаточно получить импульсную переходную функцию для уравне­ния типа (4.11).

Не приводя выкладок для разных моделей внутреннего сопротивле­ния, запишем результат, используемый в инженерной практике:

. (4.18)

Решение задачи представлено формулой (4.16), в которой вместо (4.13) используется импульсная переходная функция (4.18).

4.1.2. Гармоническая нагрузка

Рассмотрим колебания системы при действии на неё гармонической нагрузки: или . Функ­ция нагрузки , или . Исполь­зуя формулы Эйлера:

, ,

достаточно рассмотреть случай .

Для диссипативной системы уравнение движения системы с моделью внутреннего трения по скорректированному Фохту имеет вид:

, (4.19)

где - диссипативная матрица.

Подставив в (4.19) , , после со­кращения на , получим:

. (4.20)

Решение уравнения (4.20) ищем в виде разложения по собственным формам матриц , m:

. (4.21)

После подстановки (4.21) в (4.20), умножения полученного на слева, с учетом выражений, определяющих собственные значения и собственные векторы:

, , (4.22)

получаем , (4.23)

где . (4.24)

Система дифференциальных уравнений (4.23) в силу диагональности матриц , представляет собой систему независимых уравнений:

,

из которых находим ,

где , , (4.25)

- передаточная функция, - амплитудно-частотные характеристики (АЧХ), - фазово-частотные характеристики (ФЧХ) для j -й формы: , , . (4.26)

После подстановки в (4.21) найденных выражений получим

,

или , (4.27)

где (4.28)

- гармоническая матрица податливости,

, (4.29)

, - парциальная матрица, - передаточные функции.

Для консервативных систем передаточные функции величины действительные, поэтому амплитуды (4.27) величины действительные. Для диссипативных систем передаточные функции (4.25) величины ком­плексные и - величина комплексная, - действи­тельная часть , - мнимая часть . Действительную амплитуду на­ходим по формуле: .

Для систем с редким спектром частот упростим вычисление амплитуд колебаний. При амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) , , , ; т.е. при >> , . (4.30)

Такие значения амплитуд принимаем для любых резонансных зон .

При других значениях

. (4.31)