Координаты точки и вектора

На плоскости и в пространстве имеются прямоугольные декартовы системы координат (рис12): и соответственно, где - единичные и взаимно перпендикулярные векторы (орты). Точка О называется началом координат, а упорядоченную тройку координатных векторов называют ортонормированным базисом пространства . Оси координат: (Ох) – ось абсцисс, (Оу) – ось ординат, (Оz) – ось аппликат.

Пусть М - некоторая произвольная точка пространства (для точки плоскости рассуждения аналогичны). Положение точки М в пространстве (рис.13) однозначно определяется её координатами М(х,y,z) в системе , т.е., например, координатной ломаной: , где

,и

,

- радиус вектор точки М.

Таким образом, справедливо: М(х,y,z) , при этом упорядоченный набор действительных чисел (х,y,z) называют координатами вектора в ортонормированном базисе , обозначают .

Пусть заданы две точки и , тогда , т.е.

или

. (1)

Следовательно, для того, чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала.

Так как длиной вектора называют длину отрезка АВ, то

│ │= . (2)

Задача. Даны векторы и . Найти координаты вектора .

Решение.По определению координат векторов имеем: , . Для определения координат

вектора применим свойства (7),(9) из § 17:

. (3)

Значит , т.е.

. (4)

В силу равенств (3),(4) имеем:

При сложении (вычитании) векторов соответствующие их координаты складываются (вычитаются).

При умножении вектора на число каждая его координата умножается на то же число.

В геометрии, кроме прямоугольной декартовой системы координат, используется также аффинная система координат на плоскости и в пространстве, обозначают их и соответственно, где - упорядоченная тройка некомпланарных векторов определяет аффинный базис пространства . Координаты точки в аффинной системе (рис.14) и вектора в аффинном базисе вводятся по аналогии с координатами в прямоугольной системе и ортонормированном базисе, поэтому линейные операции над векторами в аффинном базисе удовлетворяют тем же правилам и свойствам.